Punti di flesso
Ciao a tutti,
la funzione data è: $f(x)=\ln x-\arctan (x-1)$
stavo studiando la derivata seconda per cercare i punti di flesso e gli intervalli di concavità e di convessità: $f''(x)=\frac{-x^{4}+6x^{3}-10x^{2}+8x-4}{x^{3}-2x^{2}+2x}$ ma nè con Ruffini né con altro sono riuscita a scomporre il numeratore, così ho pensato: perchè non dividere Numeratore con Denominatore?! Ed ho ottenuto: $f''(x)=\frac{(x^{3}-2x^{2}+2x)(-x+4)-4}{x(x^{2}-2x+2)}$
ora effettuo il prodotto dei segni tra N e D:
* considero il Numeratore: $(x^{3}-2x^{2}+2x)(-x+4)-4\geq 0$ cioè: $(x^{3}-2x^{2}+2x)(-x+4)\geq 4$
effettuo separatamente: $x^{3}-2x^{2}+2x\geq 4$ dalla quale ricavo: $(x-2)(x^{2}+2)\geq 0$ valida per $x\geq 2$
$-x+4\geq 4$ valida per $x\leq 0$
* considero il Denominatore: esiste per $x> 0$
In conclusione ricavo che: $f''(x)> 0$ per $0< x<2$ , $f''(x)< 0$ per $x> 2$ , $f''(x)=0$ per $x=2$ che è un punto di flesso
La mia domanda è: ho fatto un ragionamento giusto al numeratore facendo la divisione, al fine di riuscir a trovare un prodotto?
Potrebbe essere giusto, ma secondo me è sbagliato perché dal grafico risulta tutt'altro (verificato con GeoGebra).
Grazie a tutti per l'aiuto
la funzione data è: $f(x)=\ln x-\arctan (x-1)$
stavo studiando la derivata seconda per cercare i punti di flesso e gli intervalli di concavità e di convessità: $f''(x)=\frac{-x^{4}+6x^{3}-10x^{2}+8x-4}{x^{3}-2x^{2}+2x}$ ma nè con Ruffini né con altro sono riuscita a scomporre il numeratore, così ho pensato: perchè non dividere Numeratore con Denominatore?! Ed ho ottenuto: $f''(x)=\frac{(x^{3}-2x^{2}+2x)(-x+4)-4}{x(x^{2}-2x+2)}$
ora effettuo il prodotto dei segni tra N e D:
* considero il Numeratore: $(x^{3}-2x^{2}+2x)(-x+4)-4\geq 0$ cioè: $(x^{3}-2x^{2}+2x)(-x+4)\geq 4$
effettuo separatamente: $x^{3}-2x^{2}+2x\geq 4$ dalla quale ricavo: $(x-2)(x^{2}+2)\geq 0$ valida per $x\geq 2$
$-x+4\geq 4$ valida per $x\leq 0$
* considero il Denominatore: esiste per $x> 0$
In conclusione ricavo che: $f''(x)> 0$ per $0< x<2$ , $f''(x)< 0$ per $x> 2$ , $f''(x)=0$ per $x=2$ che è un punto di flesso
La mia domanda è: ho fatto un ragionamento giusto al numeratore facendo la divisione, al fine di riuscir a trovare un prodotto?
Potrebbe essere giusto, ma secondo me è sbagliato perché dal grafico risulta tutt'altro (verificato con GeoGebra).
Grazie a tutti per l'aiuto
Risposte
Le radici del polinomio a numeratore sono a dir poco bruttine...
Quindi cosa mi consigli di fare? Di determinare intuitivamente gli intervalli di concavità e di convessità dallo studio della derivata prima?
"rosannacir":
Quindi cosa mi consigli di fare? Di determinare intuitivamente gli intervalli di concavità e di convessità dallo studio della derivata prima?
In effetti sì. Non mi viene in mente altro.
Mal che vada potresti giocare con il teorema degli zeri per individuare degli intervalli in cui $f''(x)$ si annulla.
[mod="dissonance"]@rosannaclr: Per favore, rimuovi "Aiutatemi vi prego" dal titolo. Non serve ad avere maggiore visibilità, semmai ad infastidire chi legge, e va contro il regolamento (clic - vedi punto 3.3). Usa il pulsante MODIFICA che trovi in alto a destra nel tuo primo post. Grazie.[/mod]
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