Punti di flesso
$ (x^2-4x+3)/(x^2+1) $
l'esercizio mi chiede:" dimostrare che questa funzione ha 3 punti di flesso,ma SENZA CALCOLARLI!!!!!
Io ho provato a risolverlo disegnando il grafico...è giusto oppure esistono altre regole che purtroppo ignoro?
grazie[/tex]
l'esercizio mi chiede:" dimostrare che questa funzione ha 3 punti di flesso,ma SENZA CALCOLARLI!!!!!
Io ho provato a risolverlo disegnando il grafico...è giusto oppure esistono altre regole che purtroppo ignoro?
grazie[/tex]
Risposte
Non c'è bisogno di studiare la funzione...basta porre la derivata seconda maggiore di zero e vedere se ci sono 3 soluzioni e se cambia la concavità della curva...almeno l'avrei risolto così...
Io ho svolto un pò di calcoli, e trovo due punti critici:
$x_1,2=(1+-sqrt(5))/2$
non c'è il terzo punto critico, come ti trovi tu?
$x_1,2=(1+-sqrt(5))/2$
non c'è il terzo punto critico, come ti trovi tu?
$(dy)/(dx) = ((2x - 4)*(x^2 + 1) - 2x*(x^2 - 4x + 3))/(x^2 + 1)^2 = 4 * ( x^2 - x - 1)/(x^2 + 1)^2$
$(d^2 y)/(dx)^2 = 4* ((2x - 1)(x^2 + 1)^2 - 4x*(x^2 + 1)(x^2 - x - 1))/(x^2 + 1)^4 = -4 ((x^2 + 1)*(2x^3 - 3x^2 - 6x + 1))/(x^2 + 1)^4 = - 4 (2x^3 - 3x^2 - 6x + 1)/(x^2 + 1)^3$
Al numeratore hai un polinomio di terzo grado il quale ha sicuramente almeno una radice reale. Evidentemente, tra il punto di massimo e quello di minimo (che avresti dovuto trovare con la derivata prima) la curva cambia concavità. Altri due si trovano negli intervalli in cui la funzione è crescente. Penso si possa considerare il comportamento asintotico della $f$ per concludere che la curva cambia concavità altre due volte.
$(d^2 y)/(dx)^2 = 4* ((2x - 1)(x^2 + 1)^2 - 4x*(x^2 + 1)(x^2 - x - 1))/(x^2 + 1)^4 = -4 ((x^2 + 1)*(2x^3 - 3x^2 - 6x + 1))/(x^2 + 1)^4 = - 4 (2x^3 - 3x^2 - 6x + 1)/(x^2 + 1)^3$
Al numeratore hai un polinomio di terzo grado il quale ha sicuramente almeno una radice reale. Evidentemente, tra il punto di massimo e quello di minimo (che avresti dovuto trovare con la derivata prima) la curva cambia concavità. Altri due si trovano negli intervalli in cui la funzione è crescente. Penso si possa considerare il comportamento asintotico della $f$ per concludere che la curva cambia concavità altre due volte.
"clever":
Io ho svolto un pò di calcoli, e trovo due punti critici:
$x_1,2=(1+-sqrt(5))/2$
non c'è il terzo punto critico, come ti trovi tu?
Attenzione. I punti di flessi si ricercano tra gli zeri della derivata seconda (escludendo i flessi a tangente verticale). Infatti tutti e tre i flessi della $f$ in questione sono flessi a tangente obliqua.
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