Punti di flesso
Devo calcolare i punti di flesso della funzione:
$f(x) = 2x - tgx$
Ho calcolato le due derivate (prima e seconda):
$f'(x) = 1 + tg^2x$
$f''(x) = 2/(cos^2x)$
Dato che gli eventuali punti di flesso si indivudano dalla soluzione dell'equazione $f''(x) = 0$, posso dire che non ci sono punti di flesso. Dato che $2/(cos^2x) = 0$ non ha mai valore, non ci sono eventuali punti di flesso.
Tutto giusto?
$f(x) = 2x - tgx$
Ho calcolato le due derivate (prima e seconda):
$f'(x) = 1 + tg^2x$
$f''(x) = 2/(cos^2x)$
Dato che gli eventuali punti di flesso si indivudano dalla soluzione dell'equazione $f''(x) = 0$, posso dire che non ci sono punti di flesso. Dato che $2/(cos^2x) = 0$ non ha mai valore, non ci sono eventuali punti di flesso.
Tutto giusto?
Risposte
sicuro di aver calcolato bene le derivate?
Dato il grafico:
[asvg]ymin=-10; ymax=10;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("2*x-tan(x)");[/asvg]
direi di no.
[asvg]ymin=-10; ymax=10;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("2*x-tan(x)");[/asvg]
direi di no.
L'errore dov'è? Non riesco a capire dove ho sbagliato.
\[
f'(x)=2-\frac{1}{\cos^{2} x}
\]
e
\[
f''(x)=-\frac{2\tan x}{\cos^{2} x}
\]
f'(x)=2-\frac{1}{\cos^{2} x}
\]
e
\[
f''(x)=-\frac{2\tan x}{\cos^{2} x}
\]
"maxsiviero":
\[
f'(x)=2-\frac{1}{\cos^{2} x}
\]
Che si può pure riscrivere come:
\[
f^\prime (x) = 1-\tan^2 x\; \ldots
\]
Quindi hai sbagliato un segno.
Ah ecco, quindi è la derivata che è sbagliata.
Una domanda teorica: il metodo principale per controllare l'esistenza di punti di flesso è porre la derivata seconda uguale a zero? Oppure può capitare che questa equazione non da valori ma comunque c'è un punto di flesso?
Una domanda teorica: il metodo principale per controllare l'esistenza di punti di flesso è porre la derivata seconda uguale a zero? Oppure può capitare che questa equazione non da valori ma comunque c'è un punto di flesso?
Ma se studio la derivata seconda (e quindi concavità e convessità) e noto che la concavità e convessità della funzione varia, posso dedurre che ci sono punti di flesso e che i punti in cui cambia lo sono? Oppure un punto per essere punto di flesso deve '' rispettare '' un ulteriore condizione?
Cito Wikipedia:
"Per verificare analiticamente se una funzione possiede punti di flesso, si ricercano innanzitutto i valori di $x$ per i quali la derivata seconda si annulla:
$f''(x)=0$. La condizione che $f''(x_0) = 0$ è necessaria ma non sufficiente a garantire l'esistenza di un flesso in $x_0$ , perché la derivata seconda potrebbe non cambiare segno intorno a $x_0$ : questo accade se la funzione presenta nel punto un contatto "superiore al secondo ordine" con la propria retta tangente.
Quindi si prosegue nell'analisi verificando che la derivata seconda cambi segno. Questo accade precisamente quando la prima derivata non nulla calcolata nel punto $x_0$ successiva alla seconda è una derivata dispari."
"Per verificare analiticamente se una funzione possiede punti di flesso, si ricercano innanzitutto i valori di $x$ per i quali la derivata seconda si annulla:
$f''(x)=0$. La condizione che $f''(x_0) = 0$ è necessaria ma non sufficiente a garantire l'esistenza di un flesso in $x_0$ , perché la derivata seconda potrebbe non cambiare segno intorno a $x_0$ : questo accade se la funzione presenta nel punto un contatto "superiore al secondo ordine" con la propria retta tangente.
Quindi si prosegue nell'analisi verificando che la derivata seconda cambi segno. Questo accade precisamente quando la prima derivata non nulla calcolata nel punto $x_0$ successiva alla seconda è una derivata dispari."
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