Punti di estremo di funzione a due variabili
Salve dovrei trovare i punti di estremo di questa funzione: \(\displaystyle f(x,y)=x^2\ln(x+y) \)
Mi sono trovato le varie derivate e nella ricerca dei punti stazionari ho dovuto risolvere questo sistema:
$\{(f'_x= 0),(f'_y= 0):}\rightarrow\{(2x\ln(x+y)+\frac{x^2}{x+y} = 0),(\frac{x^2}{x+y}=0):}$
Risolvendo la seconda equazione ottengo $x=0$, sostituendo $x=0$ nella prima equazione, quest'ultima si annulla e quindi ho concluso che questa funzione non ha punti stazionari. È giusto?
Mi sono trovato le varie derivate e nella ricerca dei punti stazionari ho dovuto risolvere questo sistema:
$\{(f'_x= 0),(f'_y= 0):}\rightarrow\{(2x\ln(x+y)+\frac{x^2}{x+y} = 0),(\frac{x^2}{x+y}=0):}$
Risolvendo la seconda equazione ottengo $x=0$, sostituendo $x=0$ nella prima equazione, quest'ultima si annulla e quindi ho concluso che questa funzione non ha punti stazionari. È giusto?
Risposte
"Gh3rra":
È giusto?
Il punto \( (0,\pi)\) risolve il sistema?
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":In teoria il sistema si risolve per $(0,\forall y \in RR -{0})$ però otterrei infiniti punti stazionari ed è impossibile trovarmi infinite matrice hessiane
risolve il sistema?
Studia una matrice hessiana in $(0,y_0)$, con $y_0 \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ arbitrario; per l'arbitrarietà di $y_0$ deduci il risultato per ogni $(0,y_0)$.
Ciao Gh3rra,
Attenzione perché la funzione $z = f(x,y) = x^2 ln(x+y) $ ha dominio naturale $D = {(x, y) \in \RR^2 : x + y > 0 \iff y > - x} $: quindi se $x = 0 $ deve essere giocoforza $y > 0 $. I punti del tipo $(0, y) $ annullano non solo le derivate, ma anche la funzione proposta, che si annulla anche sulla retta di equazione $y = - x + 1 $
Per $y > - x + 1 $ poi la funzione proposta è sempre positiva.
Attenzione perché la funzione $z = f(x,y) = x^2 ln(x+y) $ ha dominio naturale $D = {(x, y) \in \RR^2 : x + y > 0 \iff y > - x} $: quindi se $x = 0 $ deve essere giocoforza $y > 0 $. I punti del tipo $(0, y) $ annullano non solo le derivate, ma anche la funzione proposta, che si annulla anche sulla retta di equazione $y = - x + 1 $
Per $y > - x + 1 $ poi la funzione proposta è sempre positiva.
"Gh3rra":In teoria il sistema si risolve per $(0,\forall y \in RR -{0})$ però otterrei infiniti punti stazionari ed è impossibile trovarmi infinite matrice hessiane[/quote]
[quote="080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6"]risolve il sistema?
Il calcolo letterale si usa proprio per ovviare a questi problemi...
[ot]Peccato che questi importanti snodi concettuali passino sempre sotto silenzio alle superiori.
Poi ci ritroviamo studenti universitari che asseriscono assurdità (per non dire altro) simili.
[/ot]
"gugo82":In teoria il sistema si risolve per $(0,\forall y \in RR -{0})$ però otterrei infiniti punti stazionari ed è impossibile trovarmi infinite matrice hessiane[/quote]
[quote="Gh3rra"][quote="080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6"]risolve il sistema?
Il calcolo letterale si usa proprio per ovviare a questi problemi...[/quote]
Aggiungerei che trovare i punti di estremo di una funzione costante dev'essere un dramma. Infinite matrici hessiane, tutte semidefinite (sia positive che negative, ohibò).
"gugo82":
[ot]Peccato che questi importanti snodi concettuali passino sempre sotto silenzio alle superiori.
Poi ci ritroviamo studenti universitari che asseriscono assurdità (per non dire altro) simili.
Vabbè, non si riesce a far tutto, però aumentare il peso delle riflessioni critiche rispetto alla calcolite non sarebbe una brutta idea.
Non dimenticherò mai quando in quarta liceo scientifico arrivò un supplente (uno dei tanti). Io andavo bene, non avevo problemi con la geometria analitica, risolvevo gli esercizi. Però bastò una sua domanda per farmi capire che... non avevo capito niente
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