Punti di estremo

[petrogass]

Stabilire se la funzione \( f(x,y) =e^{xy} \) ammette estremi assoluti nell'insieme
\( M={(x,y)\epsilon R^2:x^2-1\leq y\leq 3} \)
e nel caso determinarli insieme ai punti di estremo.
Come svolgo un esercizio del genere?

[qasw1]

$f$ è continua e $M$ è compatto, quindi per il teorema di Weierstrass la funzione assume in $M$ un massimo e un minimo assoluti su $M$.
Consideriamo il massimo. Si deve trovare o nell'interno di $M$ oppure sul suo bordo. Nel primo caso sarebbe un massimo relativo libero. Per trovarlo, cerchi i massimi relativi di $f$ su $RR^2$ e tra quelli che trovi consideri solo quelli contenuti in $M$.
Se invece si trova sul bordo di $M$, devi cercarlo come massimo vincolato (conosci il metodo dei moltiplicatori di Lagrange?).

Ricapitolando cerchi i massimi relativi di $f$ su $RR^2$ e tieni solo quelli che sono contenuti in $M$, poi cerchi i massimi vincolati sul bordo di $M$. Tra tutti questi punti che hai trovato, prendi quello in cui $f$ assume il valore massimo: è il tuo massimo assoluto.

Faccenda analoga per il minimo.

[petrogass]

Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange lo conosco, ma come posso applicarlo ad un insieme descritto in quel modo? Non riesco a capire quale sia la g(x,y) in poche parole

[petrogass]

up