Punti di equilibrio
Sia $\varphi in C^1(RR)$ tale che $text{sup}_(x in RR) |\varphi'(x)|<1$
Provare che il sistema
$\{(x'=y-\varphi(x)),(y'=x-\varphi(y)):}$
ha un unico punto di equilibrio e che tale equilibrio è sempre insabile.
Allora il punto di equilibrio è $(\varphi(x), \varphi(y))$
Adesso per vedere che è sempre instabile dovrei trovare la matrice A del sistema cosi posso calcolarmi gli autovalori. Ma qual è in questo caso?
Provare che il sistema
$\{(x'=y-\varphi(x)),(y'=x-\varphi(y)):}$
ha un unico punto di equilibrio e che tale equilibrio è sempre insabile.
Allora il punto di equilibrio è $(\varphi(x), \varphi(y))$
Adesso per vedere che è sempre instabile dovrei trovare la matrice A del sistema cosi posso calcolarmi gli autovalori. Ma qual è in questo caso?
Risposte
La matrice $A$ è quella dei coefficienti delle derivate...
E quindi la matrice A del sistema è sarebbe $A_(x,y)=((-\varphi'(x), 1), (1, -\varphi'(y)))$ che associata al mio punto critico diventa $A_(\varphi(x),\varphi(y))=((-\varphi'(\varphi(x)), 1), (1, -\varphi'(\varphi(y))))$
Il determinante del polinomio caratteristico è $\Delta=(\varphi'(varphi(y))+varphi'(varphi(x)))^2-4\varphi'(\varphi(y))\varphi'(varphi(x))+4$ che è sempre positivo per l'ipotesi del sup della derivata di $\varphi$
Ma le due soluzioni come faccio a capire se sono positive, negative o una postiva e l'altra negativa? Grazie
Il determinante del polinomio caratteristico è $\Delta=(\varphi'(varphi(y))+varphi'(varphi(x)))^2-4\varphi'(\varphi(y))\varphi'(varphi(x))+4$ che è sempre positivo per l'ipotesi del sup della derivata di $\varphi$
Ma le due soluzioni come faccio a capire se sono positive, negative o una postiva e l'altra negativa? Grazie
Melli, non ho capito niente di quello che hai scritto. Se tu chiedi quale è la matrice $A$ del sistema, la risposta è questa
$$A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\ 0 & 1
\end{array}\right)$$
Quella che hai scritto, invece, è l'hessiana del sistema. Osserva che se calcoli il determinante dell'hessiana, in generale, viene fuori $\varphi'(x)\cdot\varphi'(y)-1$ e dal momento che, per ipotesi, $|\varphi' |<1$ si ha
$$|\varphi'(x)\varphi'(y)|<1$$
e quindi
$$-1 <\varphi'(x)\varphi'(y)<1\ \Rightarrow\ -2<\varphi'(x)\varphi'(y)-1<0$$
per cui il determinante è sempre negativo. Cosa puoi concludere?
$$A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\ 0 & 1
\end{array}\right)$$
Quella che hai scritto, invece, è l'hessiana del sistema. Osserva che se calcoli il determinante dell'hessiana, in generale, viene fuori $\varphi'(x)\cdot\varphi'(y)-1$ e dal momento che, per ipotesi, $|\varphi' |<1$ si ha
$$|\varphi'(x)\varphi'(y)|<1$$
e quindi
$$-1 <\varphi'(x)\varphi'(y)<1\ \Rightarrow\ -2<\varphi'(x)\varphi'(y)-1<0$$
per cui il determinante è sempre negativo. Cosa puoi concludere?
Scusami..hai ragione...sono due matrici differenti. Intendevo quella che ho scritto...l'hessiana!
Se il determinante dell'hessiana è nulla significa che il punto è un colle giusto? Quindi è instabile
Se il determinante dell'hessiana è nulla significa che il punto è un colle giusto? Quindi è instabile
Adesso lo stesso esercizio mi chiede di provare che ogni soluzione massimale di quel sistema è globale.
L'unico strumento che ho è questo teorema:
$A=(\alpha, beta)xxRR^(n)$
$AA J$ a chiusura compatta in $(\alpha, beta) EE c_j>=0: |f(t,x)|<=c_j(1+|x|) AA x in RR^n, AA t in J$
$y: (a,b)->RR^n$ massimale, $y=f(t,y)$
$rArr$ y è globale
Ma come lo applico?
L'unico strumento che ho è questo teorema:
$A=(\alpha, beta)xxRR^(n)$
$AA J$ a chiusura compatta in $(\alpha, beta) EE c_j>=0: |f(t,x)|<=c_j(1+|x|) AA x in RR^n, AA t in J$
$y: (a,b)->RR^n$ massimale, $y=f(t,y)$
$rArr$ y è globale
Ma come lo applico?
Secondo me devi enunciarlo meglio quel teorema: non si capisce di quale "equazione differenziale" tu stia parlando.
$x'=f(t,x)$ è la mia equazione differenziale...forse hai ragione, è per questo che faccio confusione. Ma il mio professore lo ha enunciato così e sui libri non riesco a trovarlo 
Allora, torniamo un attimo al primo problema: con quello che ho scritto, possiamo affermare che il determinante è negativo (e non che è nullo.... ma leggi quello che ti viene scritto?) in qualsiasi punto, pertanto che tipo di punto si ha?
Per il secondo, l'enunciato dovrebbe suonare così: Consideriamo l'insieme $A=(\alpha,\beta)\times RR^n$, la funzione $f:A\rightarrow RR^n$ e, detto $\vec{x}(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))\in RR^n$, il sistema di equazioni differenziali $\vec{x}'(t)=f(t,\vec{x}(t))$. Se per ogni sottointervallo $J\subset (\alpha,\beta)$ a chiusura compatta, esiste una costante $c_j>0$ tale che
$$|f(t,\vec{x})|< c_j(1+|\vec{x}|),\qquad \forall\ \vec{x}\in\mathbb{R}^n,\ t\in J$$
e se $\vec{y}:(\alpha,\beta)\rightarrow RR^n$ è una soluzione massimale (cioè $\vec{y}'(t)=f(t,\vec{y}(t))$ per ogni $t\in J$), allora possiamo concludere che $\vec{y}(t)$ è globale.
(questo teorema è l'equivalente vettoriale del teorema di esistenza globale per il problema di Cauchy).
Quindi devi fare due cose: 1) far vedere che esiste una soluzione massimale del problema, ogni volta che prendi un sottointervallo di $[0,+\infty)$; 2) far vedere che la nostra $f$, che in questo caso è
$$f(t,\vec{x})=(y-\varphi(x),x-\varphi(y))$$
soddisfa la condizione scritta. (In realtà basta dimostrare che vale 2) e il gioco è fatto).
Per il secondo, l'enunciato dovrebbe suonare così: Consideriamo l'insieme $A=(\alpha,\beta)\times RR^n$, la funzione $f:A\rightarrow RR^n$ e, detto $\vec{x}(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))\in RR^n$, il sistema di equazioni differenziali $\vec{x}'(t)=f(t,\vec{x}(t))$. Se per ogni sottointervallo $J\subset (\alpha,\beta)$ a chiusura compatta, esiste una costante $c_j>0$ tale che
$$|f(t,\vec{x})|< c_j(1+|\vec{x}|),\qquad \forall\ \vec{x}\in\mathbb{R}^n,\ t\in J$$
e se $\vec{y}:(\alpha,\beta)\rightarrow RR^n$ è una soluzione massimale (cioè $\vec{y}'(t)=f(t,\vec{y}(t))$ per ogni $t\in J$), allora possiamo concludere che $\vec{y}(t)$ è globale.
(questo teorema è l'equivalente vettoriale del teorema di esistenza globale per il problema di Cauchy).
Quindi devi fare due cose: 1) far vedere che esiste una soluzione massimale del problema, ogni volta che prendi un sottointervallo di $[0,+\infty)$; 2) far vedere che la nostra $f$, che in questo caso è
$$f(t,\vec{x})=(y-\varphi(x),x-\varphi(y))$$
soddisfa la condizione scritta. (In realtà basta dimostrare che vale 2) e il gioco è fatto).
Scusami @ciampax volevo scrivere negativo e ho scritto nullo...infatti ho detto che siccome il determinante è negativo ottengo un punto di colle..e quindi è instabile.
Per il secondo punto devo rifletterci........
Grazie mille comunque e scusami ancora!
Per il secondo punto devo rifletterci........
Grazie mille comunque e scusami ancora!
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