Punti di diramazione funzioni a variabile complessa
ciao a tutti, scrivo questo topic perchè credo di non aver capito bene come capire se un punto è di diramazione specie quando vado a studiare il comportamento ad infinito.
Posto qualche esercizio che stavo cercando di risolvere, e scrivo solo la parte inerente ai punti di diramazione:
$f_1(z)= (z^2 - 1)^(1/4)/(z^2+2z+2)$
ok i primi due punti di diramazione (di ordine 4) sono $z_1=+1 ; z_2=-1$
Ora come scopro se per $z=oo$ si ha o meno un punto di diramazione?
Io sapevo che si fa una sostituzione $z=1/t => f_1(1/t)$ e si va a vedere il comportamento della funzione per $t->0$
Ma non ho ben chiaro cosa mi dice che quello è un punto di diramazione, o una singolarità (polo, sing.essenziale) o un punto regolare.
quì ad esempio non so come proseguire dopo aver eseguito sostituzione e aver fatto qualche passaggio algebrico
$f_1(1/t)= (t*sqrt(t)*(1-t^2)^(1/4))/(2t^2+2t+1)$
e se prendiamo:
$f_2(z)= (z - 1)/(z^2-1) = (1)/(z+1)$
per $z= oo$ $=> z=1/t => f_2(1/t)=(1)/(1/t + 1) = t/(1+t)$
$z=oo$ è regolare?
Grazie anticipatamente.
Posto qualche esercizio che stavo cercando di risolvere, e scrivo solo la parte inerente ai punti di diramazione:
$f_1(z)= (z^2 - 1)^(1/4)/(z^2+2z+2)$
ok i primi due punti di diramazione (di ordine 4) sono $z_1=+1 ; z_2=-1$
Ora come scopro se per $z=oo$ si ha o meno un punto di diramazione?
Io sapevo che si fa una sostituzione $z=1/t => f_1(1/t)$ e si va a vedere il comportamento della funzione per $t->0$
Ma non ho ben chiaro cosa mi dice che quello è un punto di diramazione, o una singolarità (polo, sing.essenziale) o un punto regolare.
quì ad esempio non so come proseguire dopo aver eseguito sostituzione e aver fatto qualche passaggio algebrico
$f_1(1/t)= (t*sqrt(t)*(1-t^2)^(1/4))/(2t^2+2t+1)$
e se prendiamo:
$f_2(z)= (z - 1)/(z^2-1) = (1)/(z+1)$
per $z= oo$ $=> z=1/t => f_2(1/t)=(1)/(1/t + 1) = t/(1+t)$
$z=oo$ è regolare?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Devi fare il limite per $t->0$ di $t/(t+1)$ che fa zero quindi $z=oo$ è una singolarità apparente e dunque la funzione è regolare all'infinito.Più in generale se hai che $z_0$ è una singolarità isolata per $f(z)$ e vuoi conoscerne la natura devi fare $lim_(z->z_o) f(z)$ e se tale limite è finito $z_0$ è una singolarità apparente,se viene $oo$ è un polo,se non esiste è una singolarità essenziale.
L'unico dubbio che ho è:
se $lim_(1/t->0)f(1/t)->oo $ allora ho per $t=0$ un punto di diramazione?
(o analogamente se il limite di $z->z_0$ mi da "0" ho un punto di diramazione?)
grazie a tutti.
Ciao!
se $lim_(1/t->0)f(1/t)->oo $ allora ho per $t=0$ un punto di diramazione?
(o analogamente se il limite di $z->z_0$ mi da "0" ho un punto di diramazione?)
grazie a tutti.
Ciao!
Ma che sarebbe un punto di diramazione?
ok cerco di spiegarmi:
Una caratteristica di alcune funzioni polidrome è che esistono dei punti in cui se si compie un giro intorno ad esso la funzione varia, o meglio a un certo $z$ corrispondono più $f(z)$; il punto intorno a cui si ruota è un punto di diramazione.
Ad esempio lo si trova per radici n-esime di un numero complesso.
Prendi ad esempio:
$f(z)=z^a$ con $a!=$intero
il punto di diramazione è $z=0$
allora poichè $z=r*e^(i\theta)$
facendo un giro $\theta -> \theta+2\pi$ $=> f(z)=r^a * e^(ia\theta)*e^(i a2\pi) = f(z)*e^(ia2\pi)$
Se a fosse intero l'esponenz darebbe 1
Mentre per a generico si trova che la funzione dopo una rotazione intorno a $z=0$ è variata.
Una caratteristica di alcune funzioni polidrome è che esistono dei punti in cui se si compie un giro intorno ad esso la funzione varia, o meglio a un certo $z$ corrispondono più $f(z)$; il punto intorno a cui si ruota è un punto di diramazione.
Ad esempio lo si trova per radici n-esime di un numero complesso.
Prendi ad esempio:
$f(z)=z^a$ con $a!=$intero
il punto di diramazione è $z=0$
allora poichè $z=r*e^(i\theta)$
facendo un giro $\theta -> \theta+2\pi$ $=> f(z)=r^a * e^(ia\theta)*e^(i a2\pi) = f(z)*e^(ia2\pi)$
Se a fosse intero l'esponenz darebbe 1
Mentre per a generico si trova che la funzione dopo una rotazione intorno a $z=0$ è variata.
A occhio direi che per determinare una branca olomorfa di $(z^2-1)^(1/4)$ devi escludere le semirette dell'asse reale $[-oo,-1[$ e $]1,+oo]$ e quindi anche il punto $oo$ (infatti se giri intorno ad uno solo dei punti $pm 1$, la determinazione della radice "avanza" di uno; mentre se giri attorno a tutti e due i punti, ossia se giri attorno ad $oo$, la determinazione della radice "avanza" di due).
Pertanto tendo a credere che $oo$ sia un punto di diramazione anche per la tua funzione.
Pertanto tendo a credere che $oo$ sia un punto di diramazione anche per la tua funzione.
Ciao Gugo82 e darinter, grazie per la risposta! si a occhio avevo intuito anch'io che $oo$ è (come l'ho chiamato io) un punto di diramazione...
dopo una sera passata a fare esercizi, ho concluso che, (correggetemi se sbaglio), se il limite di $f(1/t)$ per
$t->0$ mi da:
$0$ allora la funzione è regolare in $z=oo$
$oo$ allora la funzione ha un punto di diramazione in $z=oo$
Anche se non credo di aver esaminato tutti i casi possibili, ed ho qualche perplessità quando trovo limiti di questo tipo:
$lim_(t->0) 1/t * sqrt(1+t)$
che visto così da $oo$, ma mi pare di ricordare che in questo caso si debba ricorrere ad un altro limite
$lim_(t->0)t* 1/t * sqrt(1+t)$
il che elimina la $t$ a denominatore e rende finito il limite (qualcosa di analogo la si fa per i residui).
Quest'ultimo è esatto?? o ricordo male io?
Grazie a tutti
dopo una sera passata a fare esercizi, ho concluso che, (correggetemi se sbaglio), se il limite di $f(1/t)$ per
$t->0$ mi da:
$0$ allora la funzione è regolare in $z=oo$
$oo$ allora la funzione ha un punto di diramazione in $z=oo$
Anche se non credo di aver esaminato tutti i casi possibili, ed ho qualche perplessità quando trovo limiti di questo tipo:
$lim_(t->0) 1/t * sqrt(1+t)$
che visto così da $oo$, ma mi pare di ricordare che in questo caso si debba ricorrere ad un altro limite
$lim_(t->0)t* 1/t * sqrt(1+t)$
il che elimina la $t$ a denominatore e rende finito il limite (qualcosa di analogo la si fa per i residui).
Quest'ultimo è esatto?? o ricordo male io?
Grazie a tutti
"ebol":
se il limite di $f(1/t)$ per
$t->0$ mi da:
$0$ allora la funzione è regolare in $z=oo$
Prendi $f(z):=\sqrt(1/z)$. Risulta $lim_(t\to 0) f(1/t)=lim_(t\to 0) \sqrt(t)=0$, quindi la $f$ è regolare in $oo$; ciononostante $oo$ è un punto di diramazione per $f$.
Insomma, esistono punti di diramazione regolari (questo è il caso di $z^(1/n)$ in $0$, ad esempio).
Per le regolette pratiche per la determinazione dei punti di diramazione, devo dire che non ne so molto; prova a guardare su qualche testo o chiedi direttamente al prof.
Ciao! grazie mille Gugo82, sei stato molto chiaro.
Ora proverò a cercare in qualche altro testo perchè nel mio c'è giusto una definizione teorica molto sintetica e non si accenna agli esercizi.
Proverò a chiedere anche al professore o al tutor.
Grazie a tutti.
A presto!
Ora proverò a cercare in qualche altro testo perchè nel mio c'è giusto una definizione teorica molto sintetica e non si accenna agli esercizi.
Proverò a chiedere anche al professore o al tutor.
Grazie a tutti.
A presto!
Prego, figurati!
Anzi, fammi sapere se scopri qualcosa di interessante o se il prof ti consiglia qualche libro "particolare" (che l'argomento è assai sfizioso!).
Anzi, fammi sapere se scopri qualcosa di interessante o se il prof ti consiglia qualche libro "particolare" (che l'argomento è assai sfizioso!).
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