Punti di accumulazione su circonferenza

[Silente]

Sto cercando un modo di descrivere quali sono tutti i punti di accumulazione dell'insieme costruito in questo modo: data una circonferenza di raggio $R$, chiamo $\mathcal{A}$ l'insieme dei punti sulla circonferenza ottenuti dalle infinite rotazioni di angoli multipli di un dato angolo $\alpha \in \mathbb{Z}$.

In altre parole: $\mathcal{A}=\{x \in [-\pi R, \pi R) \subset \mathbb{R}|\exists n,k \in \mathbb{Z}(x=n\alpha R -k2 \pi R) \}$

Si dimostra in un attimo che deve avere la seguente condizione tra $n$ e $k$: \(\displaystyle n\frac{\alpha }{2\pi }-\frac{1}{2}\geq k>n\frac{\alpha }{2\pi }+\frac{1}{2} \) o equivalentemente \(\displaystyle \left( 2k-1 \right)\frac{\pi }{\alpha }\leq n<\left( 2k+1 \right)\frac{\pi }{\alpha } \).

Sono riuscito a dimostrare solo che $\mathcal{A}$ è infinito, poiché se imponessi: $x_1=x_2$ con $n_1 \ne n_2$, allora ciò implicherebbe:

\(\displaystyle n_1\alpha R -k_12 \pi R=n_2\alpha R -k_22 \pi R \)
\(\displaystyle 0 \ne (n_1-n_2)\alpha =(k_1-k_2)2\pi \)

che è assurdo poiché $\pi \notin \mathbb{Q}$.

Dunque $\mathcal{A}$ è sia infinito che limitato $\Rightarrow$ ha almeno un punto di accumulazione.

Più di questo però non riesco a trovare, vorrei capire quali e quanti sono questi punti di accumulazione. Ho pensato che l'insieme dei punti di accumulazione di $\mathcal{A}$ potesse essere l'intero intervallo $[-\pi R, \pi R)$, ma per dimostrare questo dovrei far vedere che per ogni $x \in [-\pi R, \pi R)$ esistono una coppia di indici $n$ e $k$ tali che la distanza $|x-(n\alpha R-k2\pi R)|$ sia piccola a piacere, ed anche utilizzando le disuguaglianze scritte sopra non si arriva a niente di importante...

Spero in un lume,
grazie in anticipo.

[anto_zoolander]

uso $r:=R$ e pongo $S^r={(x,y)inRR^2:x^2+y^2=r^2}$

a meno di multipli di $2pi$ possiamo prendere un certo $alpha in[0,2pi]capZZ$ per fissare le idee prendiamolo in $[0,pi]capZZ$ chiaramente dovendo essere un radiante potremo avere $alpha=0,1,2,3$

chiaramente tale angolo è individuato da una coppia di vettori tali per cui $(v*e_1)/(|v|*|e_1|)=cos(alpha)$ e tale per cui $|v|=r$ in poche parole il nostro vettore sarà $v=r(cos(alpha),sin(alpha))$

ottenere punti individuati da una rotazione di un multiplo intero di $alpha$ significa ruotare quel vettore.
ovvero significa

$[(x),(y)]=[(cos(n alpha),-sin(n alpha)),(sin(n alpha), cos(n alpha))]*[(rcos(alpha)),(r sin(alpha))]=[(rcos((n+1)alpha)),(r sin((n+1)alpha))]$

ovvero l'insieme $A={(rcos((n+1)alpha)),r sin((n+1)alpha)) inS^r: n inZZ}$

secondo me doveva venirti qualcosa del genere, visto che parli di 'punti su una circonferenza'. Come fa a venirti un intervallo?

[Silente]

Non è equivalente impostarlo come ho fatto io?
Ho semplicemente "linearizzato" la circonferenza:

[fcd][FIDOCAD]
EV 45 50 95 100 0
LI 110 75 130 75 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 144 75 224 75 0
TY 142 68 5 5 0 0 2 * .
TY 68 93 5 5 0 0 2 * .
TY 222 68 5 5 0 0 6 * .
TY 67 93 5 5 0 0 6 * .[/fcd]

[anto_zoolander]

Sicuramente una circonferenza è omotopa a un segmento, ma a livello di punti di accumulazione non saprei come ci si comporta 'linearizzando' la circonferenza.

[Silente]

Vorrei chiarire un punto
Questo esercizio viene proposto subito dopo la teoria sui limiti di successioni in \(\displaystyle \mathbb{R} \)
Insomma, sono al livello zero... Non so cosa voglia dire omotopa per ora ma dubito c'entri qualcosa in questo contesto.

Perdona l'ignoranza.

[dissonance]

"anto_zoolander":Sicuramente una circonferenza è omotopa a un segmento

Non c'entra nulla.

@Ianero: https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker%27s_theorem

Mi pare che tu stia cercando di ritrovare il caso \(n=1\) di questo teorema. Una risorsa più leggibile è questo bellissimo post di Martino:

viewtopic.php?p=256504#p256504

[anto_zoolander]

"dissonance":https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?p=256504#p256504

è potentissimo

[.Ruben.17]

Dimostrerò che i punti $x^n$, dove $x=e^{i\theta}$, con $\frac{\theta}{\pi}$ irrazionale, sono densi sulla circonferenza complessa di raggio 1, ossia che per ogni $\epsilon > 0$ e per ogni punto P sulla circonferenza, esiste un elemento Q di $A = { x^n, n \in \mathbb{N} }$, tale che l'angolo al centro sotteso al segmento PQ sia minore di $\epsilon$.
Questo implica che i punti $((cos(\alpha + n \theta), sin(\alpha + n \theta))$, che possono essere visti come i punti dell'insieme A mandati in $\mathbb{R}^2$ tramite l'isomorfismo canonico e ruotati di un'angolo $\alpha$, sono densi sulla circonferenza goniometrica.
Per dimostrare la densità di A, fisso $\epsilon >0$ e prendo $N>\frac{2\pi}{\epsilon}$. Fatto questo, taglio la circonferenza complessa unitaria in $N$ parti, ognuna di $\frac{2\pi}{N}<\epsilon$ radianti. Ora prendo $N+1$ potenze consecutive di $x$. Per il principio dei cassetti, 2 di esse dovranno trovarsi nella stessa fetta di circonferenza; siano esse $x^a$ e $x^b$, con $a > b$. Poichè $\frac{\theta}{\pi}$ è irrazionale, similmente a come si è spiegato prima, $z^a \ne z^b$. Dunque abbiamo due diversi elementi di $A$ a distanza tra loro minore di $\epsilon$: per questo motivo l'angolo formato da $z^{a-b}$ con l'asse reale è minore di $\epsilon$. Allora il sottoinsieme $A_{\epsilon} \subset A$, definito da $A_{\epsilon} = { z^{(a-b)n} \, con \, n \in \mathbb{N} }$ è formato da elementi tali che la distanza in radianti tra due di essi consecutivi è minore di $\epsilon$. Dunque preso un punto $P$ sulla circonferenza complessa unitaria, esiste sempre un $Q \in A_{\epsilon}$ che ha distanza in radianti da $P$ minore di $\epsilon$. Per l'arbitrarietà di $\epsilon$, ciò implica che anche $A$(che contiene $A_{\epsilon}$) è denso, da cui la tesi.

[anto_zoolander]

@ruben non vale

[Silente]

Domani leggo tutto quello avete postato, intanto vi ringrazio moltissimo

[.Ruben.17]

"anto_zoolander":@ruben non vale

Che hanno di male i complessi?
Hahahahahah

[Silente]

Sto cominciando a leggere questa qui:

"dissonance":@Ianero: ... Una risorsa più leggibile è questo bellissimo post di Martino:

viewtopic.php?p=256504#p256504

Innanzitutto chiedo conferma su alcune definizioni e notazioni.
Dire che il mio insieme $\mathcal{A} \subset [- \pi R, \pi R)$ è denso in $[-\pi R, \pi R)$, vuol dire che ogni punto di $[-\pi R, \pi R)$ o appartiene ad $\mathcal{A}$ o è un punto di accumulazione di $\mathcal{A}$. Corretto?
In tal caso io prima stavo cercando proprio di dimostrare che $\mathcal{A}$ è denso in $[-\pi R, \pi R)$.

Poi, per comodità riporto qui la dimostrazione di Martino:

"Martino":Lemma 1: un sottogruppo additivo $G$ di $RR$ che ammette un punto di accumulazione in $RR-G$ è denso in $RR$.
Dim: se $x in RR-G$ è di accumulazione per $G$ allora esiste una successione $(x_n)_n$ in $G$ che converge a $x$, e in particolare non è definitivamente costante essendo $x notin G$. Ne segue che la successione non definitivamente costante $(x_n-x_{n-1})_n$ di $G$ converge a $0$, quindi esistono in $G$ elementi $g$ arbitrariamente vicini a zero. Ne segue che i sottogruppi $gZZ$ di $G$ sono arbitrariamente fitti in $RR$. Da cui la densità di $G$.

Lemma 2: un sottogruppo additivo $G$ di $RR$ che contiene tutti i suoi punti di accumulazione è del tipo $xZZ$ per qualche $x$.
Dim: l'insieme ${g in G\ |\ g>0}$ ammette minimo perché il suo inf è un punto di accumulazione per $G$ e quindi appartiene a $G$. Sia $x$ tale minimo. Allora $xZZ subseteq G$ perché $G$ è un sottogruppo; viceversa se esiste $g notin xZZ$ in $G$ allora detto $xz$ l'elemento di $xZZ$ più vicino a $g$ si ha $xz-g,g-xz in G$ e $0<|xz-g|
Lemma 3: se $alpha/(beta)$ è irrazionale, $ = {alpha m+beta n\ |\ m, n\in ZZ}$ è un sottogruppo additivo di $RR$ non del tipo $xZZ$.
Dim: che quello scritto sia un sottogruppo additivo di $RR$ è evidente. Supponiamo che sia del tipo $x ZZ$ con $x in RR$. Allora detto $gamma = alpha/(beta)$, anche $ = {gamma m + n\ |\ m,n in ZZ}$ è del tipo $x ZZ$ (scambiando $x$ con $x/(beta)$). Quindi esistono interi $u,v$ tali che $gamma = x u$ e $1 = x v$, il che contraddice l'irrazionalità di $gamma$.

Quindi: $$ è un sottogruppo additivo di $RR$ non del tipo $xZZ$ per il lemma 3, ne segue che non contiene tutti i suoi punti di accumulazione per il lemma 2, e quindi è denso per il lemma 1.

Non ho capito cosa significano le scritture ... non del tipo $xZZ$, oppure i sottogruppi $gZZ$ di $G$.
Vorrei prima chiarirmi questo e poi procedere con la lettura.

Grazie.

[dissonance]

La scrittura \(x\mathbb Z\) significa \(\{xn\ :\ n\in\mathbb Z\}\), è un sottoinsieme di \(\mathbb R\) che è anche un sottogruppo additivo.

[anto_zoolander]

".Ruben.":[quote="anto_zoolander"]@ruben non vale

Che hanno di male i complessi?
Hahahahahah[/quote]

stai copincollando questa dimostrazione ovunque
Ovviamente scherzo eh! È molto bella come dimostrazione. Quanto ci hai messo?

[.Ruben.17]

"anto_zoolander":[quote=".Ruben."][quote="anto_zoolander"]@ruben non vale

Che hanno di male i complessi?
Hahahahahah[/quote]

stai copincollando questa dimostrazione ovunque
Ovviamente scherzo eh! È molto bella come dimostrazione. Quanto ci hai messo?

[/quote]

É che moltissimi utenti recentemente hanno posto questa questione
Ci ho messo un sacco; in realtà è dal test della normale ad agosto che penso a come dimostrare per bene quella proposizione, ma mi ci sono messo sul serio per 2-3 giorni dopo gli esami del primo semestre.

[Silente]

Ho letto con calma la dimostrazione e l'ho capita, applicarla al mio caso diventa più che banale ora.
Questa dimostrazione di Martino è a dir poco magnifica, complimenti, se ci leggerà.

Grazie a voi tutti e grazie in particolare a @dissonance per averla riportata alla luce.

[dissonance]

"Ianero":Ho letto con calma la dimostrazione e l'ho capita, applicarla al mio caso diventa più che banale ora.
Questa dimostrazione di Martino è a dir poco magnifica, complimenti, se ci leggerà.

Mandagli un messaggio privato, lo fai contento.

[Silente]

Giusto

[Martino]

Ahaha grazie anch'io me la ricordo quella dimostrazione, mi pare che avevo raccolto delle informazioni già esistenti sui sottogruppi densi di $RR$. Grazie anche per aver riportato il mio interesse alla sezione di analisi, le darò un'occhiata di tanto in tanto