Punti di accumulazione
Mi sono trovato davanti a questo esercizio che concettualmente è scontato ma non riesco a dimostrarlo...
Dimostrare o confutare: "Sia $ f:X->Y $ , sia $ x inX $ . Se $ x $ è punto isolato, allora $ f(x) $ non è punto di accumulazione"
Ragionando su questo mi è venuto un dubbio (probabilmente è una cosa banale): Sia $ f:NN->RR $ , perché non ha senso studiare l'andamento in un intorno di $ f(n) $ ... cioè a me verrebbe da pensare che mi devo preoccupare del fatto che $ f(n) $ dia di accumulazione o meno...
(So che la domanda può sembrare strana e so bene che fare limiti in punti isolati non ha senso, ma questo non mi risponde al problema...)
Dimostrare o confutare: "Sia $ f:X->Y $ , sia $ x inX $ . Se $ x $ è punto isolato, allora $ f(x) $ non è punto di accumulazione"
Ragionando su questo mi è venuto un dubbio (probabilmente è una cosa banale): Sia $ f:NN->RR $ , perché non ha senso studiare l'andamento in un intorno di $ f(n) $ ... cioè a me verrebbe da pensare che mi devo preoccupare del fatto che $ f(n) $ dia di accumulazione o meno...
(So che la domanda può sembrare strana e so bene che fare limiti in punti isolati non ha senso, ma questo non mi risponde al problema...)
Risposte
ma...
fammi capire...
un insieme $X$ che soddisfa i requisiti è tipo $(-\infty, 0]\cup{1}$, giusto? dove $x=1$ è un punto isolato.
bene allora la confutazione è banale:
sia:
\(f(x)=\begin{cases} e^x, & \forall x \in (-\infty; 0] \\ 1, & x=1\end{cases}\)
e cavoli se $f(x=1)$ non è di accumulazione per $Y = [1,+\infty)$! lo è eccome!
fammi capire...
un insieme $X$ che soddisfa i requisiti è tipo $(-\infty, 0]\cup{1}$, giusto? dove $x=1$ è un punto isolato.
bene allora la confutazione è banale:
sia:
\(f(x)=\begin{cases} e^x, & \forall x \in (-\infty; 0] \\ 1, & x=1\end{cases}\)
e cavoli se $f(x=1)$ non è di accumulazione per $Y = [1,+\infty)$! lo è eccome!
Mmmh..ho la sensazione che l'OP abbia dimenticato qualche ipotesi da aggiungere sulla $f$:
qualcosa che corre il rischio di farci "litigare" sulle definizioni,
tipo la sua continuità ed invertibilità.
Saluti dal web.
Edit.
Noto ora che nel testo originario è scritto "dimostrare o confutare":
a questo punto dovrei cancellare il messaggio,
ma a ben pensarci quanto ho scritto può essere inteso come un rilancio..
qualcosa che corre il rischio di farci "litigare" sulle definizioni,
tipo la sua continuità ed invertibilità.
Saluti dal web.
Edit.
Noto ora che nel testo originario è scritto "dimostrare o confutare":
a questo punto dovrei cancellare il messaggio,
ma a ben pensarci quanto ho scritto può essere inteso come un rilancio..