Punti critici mediante moltiplicatori di Lagrange
Salve a tutti ragazzi. Ho dei dubbi riguardo la ricerca di punti critici con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Non riesco a capire come deve essere il vincolo affinché posso andare a determinare la natura dei punti critici direttamente andando a valutare la funzione nei punti trovati a meno del coefficiente lambda.
Se non sbaglio il vincolo deve essere chiuso e limitato, ma nel caso avessi come vincolo una funzione del tipo
$ g(x,y)= 3x^2+9y^2-1=0 $ che è un'ellisse, posso dire che è limitato, ma non capisco se è chiuso.
Probabilmente non ho ben presente il concetto di chiuso, se qualcuno mi potesse dare una mano mi farebbe molto piacere.
Altra cosa che vorrei sapere. Se il vincolo fosse chiuso e limitato, e non me ne accorgessi, quindi non andrei a sostituire i punti critici alla funzione per ottenere massimi e minimi, posso comunque utilizzare la matrice Lagrangiana e ottenere la natura di tali punti critici?
Grazie in anticipo
Non riesco a capire come deve essere il vincolo affinché posso andare a determinare la natura dei punti critici direttamente andando a valutare la funzione nei punti trovati a meno del coefficiente lambda.
Se non sbaglio il vincolo deve essere chiuso e limitato, ma nel caso avessi come vincolo una funzione del tipo
$ g(x,y)= 3x^2+9y^2-1=0 $ che è un'ellisse, posso dire che è limitato, ma non capisco se è chiuso.
Probabilmente non ho ben presente il concetto di chiuso, se qualcuno mi potesse dare una mano mi farebbe molto piacere.
Altra cosa che vorrei sapere. Se il vincolo fosse chiuso e limitato, e non me ne accorgessi, quindi non andrei a sostituire i punti critici alla funzione per ottenere massimi e minimi, posso comunque utilizzare la matrice Lagrangiana e ottenere la natura di tali punti critici?
Grazie in anticipo
Risposte
"peppuccio92":
Non riesco a capire come deve essere il vincolo affinché posso andare a determinare la natura dei punti critici direttamente andando a valutare la funzione nei punti trovati a meno del coefficiente lambda.
non ho capito cosa tu intenda.
che io sapessi il vincolo non doveva avere particolari caratteristiche; doveva solo essere espresso tramite un'equazione e deve essere almeno di classe $C^1$ (ovvero essere derivabili parzialmente con derivata continua).
"peppuccio92":
Altra cosa che vorrei sapere. Se il vincolo fosse chiuso e limitato, e non me ne accorgessi, quindi non andrei a sostituire i punti critici alla funzione per ottenere massimi e minimi, posso comunque utilizzare la matrice Lagrangiana e ottenere la natura di tali punti critici?
anche qui non capisco, scusami
prova postare degli esempi magari.
Scusami tu, mi sarò spiegato malissimo.
Allora, io intendo questo:
Ho da studiare i punti critici di una funzione $f$ su un vincolo $g$, i passaggi sono i seguenti:
1) Controllo se la funzione e il vincolo sono di classe $ C^1 $
2) Considero la funzione Lagrangiana
3) Pongo a zero il gradiente della Lagrangiana mediante il sistema
4) Ottengo n punti crtici del tipo $(x,y, lambda) $
Adesso qui, si possono avere due casi da quello che ho capito:
a) sostituire i punti critici $(x,y)$ alla funzione di partenza $f$ e quindi caratterizzare immediatamente massimi e minimi.
b) studiare la matrice Hessiana e caratterizzare da questa i punti critici.
Ovviamente la cosa più semplice è quella "a)" cioè di sostituire i punti critici alla $f$ e ottenere subito massimi e minimi.
Quello che non capisco è:
1. quando devo necessariamente utilizzare la "b)" e quindi studiare la matrice Hessiana?
2. Lo studio dell'Hessiana funziona in intrambi i casi?
Spero di essermi spiegato bene.
Grazie in anticipo
Allora, io intendo questo:
Ho da studiare i punti critici di una funzione $f$ su un vincolo $g$, i passaggi sono i seguenti:
1) Controllo se la funzione e il vincolo sono di classe $ C^1 $
2) Considero la funzione Lagrangiana
3) Pongo a zero il gradiente della Lagrangiana mediante il sistema
4) Ottengo n punti crtici del tipo $(x,y, lambda) $
Adesso qui, si possono avere due casi da quello che ho capito:
a) sostituire i punti critici $(x,y)$ alla funzione di partenza $f$ e quindi caratterizzare immediatamente massimi e minimi.
b) studiare la matrice Hessiana e caratterizzare da questa i punti critici.
Ovviamente la cosa più semplice è quella "a)" cioè di sostituire i punti critici alla $f$ e ottenere subito massimi e minimi.
Quello che non capisco è:
1. quando devo necessariamente utilizzare la "b)" e quindi studiare la matrice Hessiana?
2. Lo studio dell'Hessiana funziona in intrambi i casi?
Spero di essermi spiegato bene.
Grazie in anticipo
Devi usare la b) quando il vincolo non e' compatto poiche' non sai se la f ammette minimo e massimo assoluto. Ovviamente la b) la puoi usare anche quando il vincolo e' un compatto ma e' una perdita di tempo in quanto basta che vedi qual e' l'immagine piu' grande e l'immagine piu' piccola sui punti critici trovati imponendo a 0 vettore il gradiente della funzione lagrangiana
Grazie mille!!! 
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