Punti critici funzione a due variabili con parametro

marthy_92
Ciao a tutti ! Ho dei problemi con questo esercizio. SI determini al variare di $ k in RR$ la natura estremale dell'origine
per la funzione

$ f (x,y) = 2+kx^2+4xy+(k-3)y^2 $

Discutere i valori eventuali di k per i quali la matrice Hessiana non permetta di concludere.


Ho verificato che effettivamente l'origine è un punto critico in quanto soluzione del sistema

$ { ( (partialf)/(partialx)= 2kx-4y=0 ),( (partialf)/(partialy)= 4x+2(k-3)y=0 ):} $

Poi ho calcolato la matrice hessiana

$ | ( (partial^2f)/(partialx^2) , (partial^2f)/(partialxpartialy) ),( (partial^2f)/(partialxpartialy) , (partial^2f)/(partialy^2) ) | $ = $ | ( 2k , 4 ),( 4 , 2k-6 ) | $ = $ 4(k+1)(k-4) $

Quindi ho detto che

$ H(x,y)=0hArr k=4 vvk=-1 $

$ H(x,y)>0hArr k<-1 vvk>4 $ . In particolare per $ k<-1rArr (partial^2f)/(partialx^2)<0 rArr $ O MASSIMO

altrimenti

$ k>4rArr (partial^2f)/(partialx^2)>0rArr $ O minimo

$ H(x,y)<0 hArr -1
Quindi il caso da indagare è il primo. Se k= 4 la funzione diventa

$ f(x,y)=2+4x^2+4xy+y^2 $ . Come faccio a studiare O per questa f? L'idea era di considerare f ristretta a rette passanti per O e mostrare che su una retta aveva minimo e su un altra massimo in modo da concludere che O è punto di sella.
Ma non riesco a concludere l'esercizio, non trovando le "rette giuste", mi aiutate? Grazie

Risposte
ostrogoto1
Piu' semplice delle rette:
$ f(x,y)= 2+4x^2+4xy+y^2=2+(2x+y)^2 $
Quindi per $ (x,y)!=(0,0) $ segue che $ f(x,y)>=f(0,0) $ [modificato con l'aggiunta del segno = dopo messaggio di Frink]

Frink1
"ostrogoto":
Piu' semplice delle rette:
$ f(x,y)= 2+4x^2+4xy+y^2=2+(2x+y)^2 $
Quindi per $ (x,y)!=(0,0) $ segue che $ f(x,y)>f(0,0) $



Occhio che sulla retta $y=-2x$ la funzione è costantemente $2$, perciò ci va il maggiore o uguale.

ostrogoto1
@ Frink, vero! Ho provveduto a modificare il messaggio precedente con un maggiore uguale.

marthy_92
Grazie ad entrambi :) Quindi posso direttamente concludere che l'origine è punto di minimo?Perchè ad esempio in altri esercizi usavo mostrare che su un sottoinsieme la f presentava minimo e su un altro per esempio massimo. Cosi concludevo che era punto di sella. Avendo trovato che sull'insieme da te indicato O è punto di minimo, questo mi da la certezza che sia minimo per f?
E invece per il caso in cui $ k = 0 $ ove la f diventa

$ f(x,y)= 2+4xy-3y^2 $ ?

marthy_92
Grazie ad entrambi :) Quindi posso direttamente concludere che l'origine è punto di minimo?Perchè ad esempio in altri esercizi usavo mostrare che su un sottoinsieme la f presentava minimo e su un altro per esempio massimo. Cosi concludevo che era punto di sella. Avendo trovato che sull'insieme da te indicato O è punto di minimo, questo mi da la certezza che sia minimo per f?
E invece per il caso in cui $ k = 0 $ ove la f diventa

$ f(x,y)= 2+4xy-3y^2 $ ?

Frink1
Puoi concludere che è minimo proprio perché quella è la definizione di minimo. Per la seconda, hai provato a cercare cammini su cui risulti prima massimo e poi minimo?

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