Punti critici (Esempio di Aotstein)
$\{(x'(t)=x^2(t)-y^2(t)),(y'(t)=2x(t)y(t)):}$
Sto leggendo la risoluzione di questo esercizio, ma perchè dice che $(0,0)$ è l'unico punto critico? Come si fa in questo caso a trovarli? Grazie mille!!
Sto leggendo la risoluzione di questo esercizio, ma perchè dice che $(0,0)$ è l'unico punto critico? Come si fa in questo caso a trovarli? Grazie mille!!
Risposte
Devi risolvere il sistema di equazioni $x'(t)=0,\ y'(t)=0$: mi sembra ovvio che l'unica soluzione di $x^2-y^2=0,\ 2xy=0$ sia solo $x=0,\ y=0$, o no? Sempre se per punto critico di una curva intendi (ma mi sembra difficile ci sia altra possibilità) un punto in cui il vettore tangente è nullo.
Si intendo quello grazie 
! Scusami, in effetti ho fatto una domanda stupida. Forse adesso ne faccio un'altra: come faccio a capire come sono fatte le orbite per quel punto? Devo innanzi tutto risolvere il sistema in modo da calcolarmi il flusso? No perchè non sarei in grado.....
! Scusami, in effetti ho fatto una domanda stupida. Forse adesso ne faccio un'altra: come faccio a capire come sono fatte le orbite per quel punto? Devo innanzi tutto risolvere il sistema in modo da calcolarmi il flusso? No perchè non sarei in grado.....
"melli13":
Forse adesso ne faccio un'altra: come faccio a capire come sono fatte le orbite per quel punto?
essendo un punto critico,l'orbita è $x(t)=0;y(t)=0$
per l'unicità della soluzione non ce ne sono altre che passano per quel punto
Allora, vediamo, perché sono un po' arrugginito con questa roba. Per risolvere il sistema possiamo osservare che, se pensiamo a $x=x(y)$ (funzione di $y$) si ha
$$\frac{dx}{dy}=\frac{dx}{dt}\cdot\frac{dt}{dy}=\frac{x'}{y'}=\frac{x^2-y^2}{2xy}=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)$$
Poniamo ora $\frac{x}{y}=z(y)$: allora ${dx}/{dy}={d(yz)}/{dy}=z+y{dz}/{dy}$ e quindi
$$z+y\frac{dz}{dy}=\frac{1}{2}\left(z-\frac{1}{z}\right)\ \Rightarrow\ y\frac{dz}{dy}=\frac{z^2-1}{2z}-z=-\frac{z^2+1}{2z}$$
e quindi abbiamo una equazione a variabili separabili che può essere risolta calcolando
$$\int\frac{2z}{z^2+1}\ dz=-\int y\ dy\ \Rightarrow\ \log(1+z^2)=-\log|y|+c$$
L'ultima espressione, può riscriversi come
$$1+z^2=\frac{c}{y}$$
da cui, ricordando che $z=y/x$ si ha
$$\frac{x^2+y^2}{y^2}=\frac{c}{y}\ \Rightarrow\ x^2+y^2=cy$$
(osserva che non ho tenuto conto del fatto che $y=0$ o altro: da come è fatto il sistema, sappiamo che la sola soluzione $y=0$ non lo soddisfa).
Le curve soluzione del sistema (qui espresse in forma cartesiana)
$$x^2+y^2-cy=0$$
sono circonferenze di centro il punto $(0,-c/2)$ e raggio $c/2$.
$$\frac{dx}{dy}=\frac{dx}{dt}\cdot\frac{dt}{dy}=\frac{x'}{y'}=\frac{x^2-y^2}{2xy}=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)$$
Poniamo ora $\frac{x}{y}=z(y)$: allora ${dx}/{dy}={d(yz)}/{dy}=z+y{dz}/{dy}$ e quindi
$$z+y\frac{dz}{dy}=\frac{1}{2}\left(z-\frac{1}{z}\right)\ \Rightarrow\ y\frac{dz}{dy}=\frac{z^2-1}{2z}-z=-\frac{z^2+1}{2z}$$
e quindi abbiamo una equazione a variabili separabili che può essere risolta calcolando
$$\int\frac{2z}{z^2+1}\ dz=-\int y\ dy\ \Rightarrow\ \log(1+z^2)=-\log|y|+c$$
L'ultima espressione, può riscriversi come
$$1+z^2=\frac{c}{y}$$
da cui, ricordando che $z=y/x$ si ha
$$\frac{x^2+y^2}{y^2}=\frac{c}{y}\ \Rightarrow\ x^2+y^2=cy$$
(osserva che non ho tenuto conto del fatto che $y=0$ o altro: da come è fatto il sistema, sappiamo che la sola soluzione $y=0$ non lo soddisfa).
Le curve soluzione del sistema (qui espresse in forma cartesiana)
$$x^2+y^2-cy=0$$
sono circonferenze di centro il punto $(0,-c/2)$ e raggio $c/2$.
@Stormy: Che significa che essendo un punto critico le orbite sono quelle? Non capisco !
@Ciampax: Grazie mille....è giusto...le orbite sono tutte circonferenze centrate sull'asse y. Ma come hai fatto a capire che la sostituzione giusta era quella? Meno male che eri arrugginito
!@Ciampax: Grazie mille....è giusto...le orbite sono tutte circonferenze centrate sull'asse y. Ma come hai fatto a capire che la sostituzione giusta era quella? Meno male che eri arrugginito
tu hai fatto questa domanda : "Quali sono le orbite che passano per il punto $(0,0)$ ? "
non hai chiesto tutte le soluzioni del sistema
ribadisco che l'unica orbita che contiene $(0,0)$ è $x(t)=0;y(t)=0$
non hai chiesto tutte le soluzioni del sistema
ribadisco che l'unica orbita che contiene $(0,0)$ è $x(t)=0;y(t)=0$
Scusa stormi, ma a seconda del valore iniziale, ogni curva soluzione del sistema è una circonferenza passante per l'origine. Quindi ogni singola circonferenza (sempre fissato un valore iniziale) è un'orbita. 
ma se la condizione iniziale è $x=0;y=0$ per l'unicità della soluzione l'unica orbita è $x(t)=0;y(t)=0$
La condizione iniziale è $y(0)=0$: tutte quelle curve la soddisfano. Effettivamente sembra che non ci sia soluzione unica. Mmmmmm.....
EDIT: no scusa, stormy, effettivamente la cosa va bene. E deve essere così: in questo caso $(0,0)$ è un nodo e quindi tutte le traiettorie vi devono passare. (Mi sono andato a rileggere le tipologie dei punti critici).
EDIT: no scusa, stormy, effettivamente la cosa va bene. E deve essere così: in questo caso $(0,0)$ è un nodo e quindi tutte le traiettorie vi devono passare. (Mi sono andato a rileggere le tipologie dei punti critici).
quindi,non c'è l'unicità della soluzione?
Eh mi sa di no, tra l'altro l'equazione che ho scritto in termini di $x, y$ non mi pare che soddisfi le condizioni del teorema di esistenza e unicità.
però,a me sembra che il sistema verifichi le ipotesi del seguente teorema a pag 5
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/rolando/1112An2slides_EDO.pdf
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/rolando/1112An2slides_EDO.pdf
Ti dirò la verità: ricordo che quando si ha a che fare con punti critici ci sono vari "problemi", ma al momento quali siano essi non mi viene in mente (è parecchio che non faccio sta roba, quando ti concentri troppo su certi argomenti a discapito di altri ti atrofizzi). Mi riguardo un po' di cose.
Quindi le orbite sono le circonferenze centrate sull'asse y passante per l'origine più l'asse delle ascisse giusto?
Sì, dovrebbero essere quelle. Però l'asse delle ascisse $y=0$ non mi pare (anche perché non soddisfa le equazioni).
Grazie mille!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo