Punti critici e natura

[Tommy85]

Traccia: trovare i punti critici e definire la natura evitando di utilizzare la matrice hessiana
$f(x,y)=x^2(log (e+y^2))+x^2 y^2$
$nabla=(2x(y^2+log(y^2 +e)),(2x^2 y(y^2+e+1))/(y^2+e))=(0,0)$
Allora il sistema ${(2x(y^2+log(y^2 +e))=0),((2x^2 y(y^2+e+1))/(y^2+e)=0):}$
$(2x(y^2+log(y^2 +e))=0$ di regola se e solo se $x=0$ e $sqrt(y^2 +e)!=0$ quindi abbiamo che tutti i punti sul l'asse x sono di minimo locale esatto?

[Zero87]

"scarsetto":$(2x(y^2+log(y^2 +e))=0$ di regola se e solo se $x=0$ e $sqrt(y^2 +e)!=0$ quindi abbiamo che tutti i punti sul l'asse x sono di minimo locale esatto?

Si annulla solo per $x=0$ perché $y^2+e$ è tale che è sempre maggiore di 1.
Non capisco il tuo $sqrt(y^2 +e)!=0$ a cosa si riferisce. In generale $y^2+e \ne 0$ per non fare annullare il logaritmo, ma il problema non si pone proprio perché $y^2 + e >1$ come detto...

[Tommy85]

"Zero87":[quote="scarsetto"]$(2x(y^2+log(y^2 +e))=0$ di regola se e solo se $x=0$ e $sqrt(y^2 +e)!=0$ quindi abbiamo che tutti i punti sul l'asse x sono di minimo locale esatto?

Si annulla solo per $x=0$ perché $y^2+e$ è tale che è sempre maggiore di 1.
Non capisco il tuo $sqrt(y^2 +e)!=0$ a cosa si riferisce. In generale $y^2+e \ne 0$ per non fare annullare il logaritmo, ma il problema non si pone proprio perché $y^2 + e >1$ come detto...[/quote]
E si per nn annullare il log...quindi sta bene?

[Zero87]

Aspetta, riordiniamo le idee. E' tutto giusto e l'unica cosa che volevo puntualizzare è quel $log(y^2+e)$.

Ora, senza sapere perfettamente il valore di $e$ sai comunque che $e>2$, quindi $y^2 + e >2$ per ogni $y$ in quanto $y^2$ è sempre non negativo.
Se vuoi una prova più matematica basta che - sapendo che $y^2>=0$ - la vedi così
$y^2+e \ge 0+e =e>2$.

Comunque, pignolerie a parte, non capisco solamente la radice quadrata, cioè se il testo (lo riscrivo a scanso di equivoci ) dice $y^2 + log(y^2 + e)$, per vedere quando il logaritmo è definito devi porre $y^2 + e >0$, cioè $y^2 +e \ne 0$ (senza radice) dal momento che la quantità all'interno è comunque non negativa.
Poi, il fatto che sia maggiore strettamente di 2 e che, quindi, il logaritmo è sempre positivo, è un passo ulteriore che semplifica i passaggi successivi.

[Tommy85]

"Zero87":Aspetta, riordiniamo le idee. E' tutto giusto e l'unica cosa che volevo puntualizzare è quel $log(y^2+e)$.

Ora, senza sapere perfettamente il valore di $e$ sai comunque che $e>2$, quindi $y^2 + e >2$ per ogni $y$ in quanto $y^2$ è sempre non negativo.
Se vuoi una prova più matematica basta che - sapendo che $y^2>=0$ - la vedi così
$y^2+e \ge 0+e =e>2$.

Comunque, pignolerie a parte, non capisco solamente la radice quadrata, cioè se il testo (lo riscrivo a scanso di equivoci ) dice $y^2 + log(y^2 + e)$, per vedere quando il logaritmo è definito devi porre $y^2 + e >0$, cioè $y^2 +e \ne 0$ (senza radice) dal momento che la quantità all'interno è comunque non negativa.
Poi, il fatto che sia maggiore strettamente di 2 e che, quindi, il logaritmo è sempre positivo, è un passo ulteriore che semplifica i passaggi successivi.

Si si nn so perché ho messo la radice...quindi diciamo il mio problema così come ho fatto tolta la radice sta bene?..mi sarò confuso nel riportarlo qua sopra l'esercizio

[Zero87]

"scarsetto":Si si nn so perché ho messo la radice...quindi diciamo il mio problema così come ho fatto tolta la radice sta bene?..mi sarò confuso nel riportarlo qua sopra l'esercizio

Sì, per la prima equazione trovi $x=0$ e stai ok. Ma ora manca da vedere se la seconda influisce (oltre che sostituire $x=0$ per vedere cosa succede: ricordiamoci che è un sistema).

[Tommy85]

"Zero87":[quote="scarsetto"]Si si nn so perché ho messo la radice...quindi diciamo il mio problema così come ho fatto tolta la radice sta bene?..mi sarò confuso nel riportarlo qua sopra l'esercizio

Sì, per la prima equazione trovi $x=0$ e stai ok. Ma ora manca da vedere se la seconda influisce (oltre che sostituire $x=0$ per vedere cosa succede: ricordiamoci che è un sistema).[/quote]
Ma nell'altra equazione sostituendo nn viene $0=0$

[Zero87]

"scarsetto":Ma nell'altra equazione sostituendo nn viene $0=0$

Nella prima equazione hai $x=0$ e stiamo apposto.
Dato che è un sistema, sostituisci la soluzione che trovi nella prima alla seconda ottenendo un bel $0=0$ perché nella seconda, se non erro, la $x$ sta a moltiplicare un altro fattore quindi se si annulla è tutto nullo.

Nella seconda al denominatore hai una quantità sempre positiva e mai nulla, quindi non ci sono problemi.

Il fatto che venga $0=0$, lo traduco come "se $x=0$ la seconda è un'identità che è sempre verificata per qualsiasi $y$ (dato che vale $0=0$) quindi punti critici sono nella retta $x=0$".
In altre parole la retta $x=0$ è critica per la funzione.

Se non vuoi utilizzare l'Hessiano, per capire se la retta è di massimo o di minimo, basta che osservi attentamente l'equazione di partenza. Hint: vale zero per $x=0$ (si annulla tutto) ma per il resto?

[Tommy85]

"Zero87":[quote="scarsetto"]Ma nell'altra equazione sostituendo nn viene $0=0$

Nella prima equazione hai $x=0$ e stiamo apposto.
Dato che è un sistema, sostituisci la soluzione che trovi nella prima alla seconda ottenendo un bel $0=0$ perché nella seconda, se non erro, la $x$ sta a moltiplicare un altro fattore quindi se si annulla è tutto nullo.

Nella seconda al denominatore hai una quantità sempre positiva e mai nulla, quindi non ci sono problemi.

Il fatto che venga $0=0$, lo traduco come "se $x=0$ la seconda è un'identità che è sempre verificata per qualsiasi $y$ (dato che vale $0=0$ quindi punti critici sono nella retta $x=0$".
In altre parole la retta $x=0$ è critica per la funzione.

Se non vuoi utilizzare l'Hessiano, per capire se la retta è di massimo o di minimo, basta che osservi attentamente l'equazione di partenza. Hint: vale zero per $x=0$ (si annulla tutto) ma per il resto?[/quote]
Nn riesco a capirti da dv lo capirei che $x=0$ è di massimo o di minimo?

[Zero87]

"scarsetto":$f(x,y)=x^2(log (e+y^2))+x^2 y^2$

Se questa è l'equazione e per $x=0$ hai $f(x,y)=0$, per gli altri punti puoi fare alcune osservazioni (te ne dico una) del tipo $x^2 y^2 >=0$ sempre ecc...

[Tommy85]

"Zero87":[quote="scarsetto"]$f(x,y)=x^2(log (e+y^2))+x^2 y^2$

Se questa è l'equazione e per $x=0$ hai $f(x,y)=0$, per gli altri punti puoi fare alcune osservazioni (te ne dico una) del tipo $x^2 y^2 >=0$ sempre ecc...[/quote]
Sinceramente nn riesco a capire

[Zero87]

"scarsetto":Sinceramente nn riesco a capire

Non preoccuparti, siamo qui per chiarire dubbi, no?

Comunque, ti faccio un esempio: prendiamo $f(x,y)=x^2 y^2$, ma il discorso vale anche per la tua funzione con le opportune precisazioni.

Allora, con lo studio delle derivate, vediamo che la retta $x=0$ è critica (in questo caso - ma nel tuo no - è critica anche $y=0$, però facciamo finta di niente!) ovvero può essere una retta dove la funzione ha un minimo o un massimo.

Lo si può vedere anche senza le derivate, ma questo è un altro discorso che però si collega a quanto sto per dire.

Quello che ti dico è: $x^2 y^2 $ è $(xy)^2$, quindi è una quantità sempre non negativa poiché è un quadrato (e siamo in $\RR$). Essa si annulla per $x=0$ o $y=0$, per il resto è positiva.
Dunque
- $f(x,y)$ è composta da una quantità "sempre" non negativa;
- per $x=0$ (in questo caso anche $y=0$ ma come detto facciamo finta di nulla perché nella tua non vale così) ci sono criticità;
- per $x=0$ la funzione è nulla.

Unendo le 3 osservazioni posso fare un ragionamento del tipo: "la funzione è non negativa ma in $x=0$ è nulla dunque la retta $x=0$ rappresenta un minimo per $f$" tutto questo senza passare per Hessiano. Come detto un ragionamento del genere si può fare - anche se non sempre - senza neanche passare per le derivate ma osservando bene la funzione (in questo caso una vera professionista è gio73).

Ora se l'es. ti dice di fare a meno dell'Hessiano vuol dire che - probabilmente - la funzione ti offre spunti di questo tipo. In questo caso posso assicurarti di sì, ma magari in altri casi servono ragionamenti più fini.

[Tommy85]

"Zero87":[quote="scarsetto"]Sinceramente nn riesco a capire

Non preoccuparti, siamo qui per chiarire dubbi, no? [/quote]
Ti ringrazio sei gentilissimo...ho capito..quindi per la mia funzione invece capisco che tutti i punti sul l'asse $x$ sono punti di minimo perché le derivate sono positive o $=0$ solo se $x=0$ corretto?

[Zero87]

"scarsetto":Ti ringrazio sei gentilissimo...ho capito..quindi per la mia funzione invece capisco che tutti i punti sul l'asse $x$ sono punti di minimo perché le derivate sono positive o $=0$ solo se $x=0$ corretto?

Ancora no, mi spiace. Però va meglio.
Non derivata, è la funzione ora (a meno che la tua non sia una svista di scrittura nel messaggio).

Riassumo in 4 parole.
Il punto è che le derivate si annullano per $x=0$, quindi su $x=0$ succede qualcosa. Questo qualcosa, però, lo capisco dalla funzione originaria (mi si chiede di non utilizzare l'Hessiano quindi mi aggrappo o alla funzione originaria o al gradiente: in questo caso all'originaria perché si vede che...), non dalla derivata: ho fatto l'esempio precedente deducendo dalla funzione originaria.
Nella tua puoi vedere che in $x=0$, $f(x,y)=0$ (era l'hint di qualche post fa), per il resto... (qui va il "si vede che..." di due righe sopra).
... da cui deduci che la criticità su $x=0$ significa che la funzione è...

Ovviamente ho esposto il mio ragionamento che suppongo giusto perché ti si chiede di non passare per l'Hessiano. In genere quando non devi passare per l'Hessiano, come detto, devi aggrapparti alla funzione di partenza o al gradiente: ho scelto quella di partenza per via di una proprietà particolare che ho cercato di dire ma che mi sa che ho detto spesso mettendo insieme tutti i post!

[Tommy85]

"Zero87":[quote="scarsetto"]Ti ringrazio sei gentilissimo...ho capito..quindi per la mia funzione invece capisco che tutti i punti sul l'asse $x$ sono punti di minimo perché le derivate sono positive o $=0$ solo se $x=0$ corretto?

Nella tua puoi vedere che in $x=0$, $f(x,y)=0$ (era l'hint di qualche post fa), per il resto... (qui va il "si vede che..." di due righe sopra).
... da cui deduci che la criticità su $x=0$ significa che [/quote]
Che vuol dire questo pezzo?...e poi di che proprietà parli nell'ultimo pezzo?...
Comunque allora ho capito che devo guardare il gradiente e la funzione originaria ma nn capisco cosa capisco dal fatto che per $x=0$ la funzione esce $0$...scusami il gioco di parole...e ti ringrazio davvero tanto per la tua pazienza e disponibilità

[Zero87]

"scarsetto":$nabla=(2x(y^2+log(y^2 +e)),(2x^2 y(y^2+e+1))/(y^2+e))=(0,0)$
Allora il sistema ${(2x(y^2+log(y^2 +e))=0),((2x^2 y(y^2+e+1))/(y^2+e)=0):}$

Ascolta, ricominciamo daccapo, un passo alla volta cercando di andare con ordine: riparto dal sistema trovato da te che considero giusto perché io con i calcoli mi incarto.

Equazione 1.
$2x(y^2+log(y^2 +e))=0$
E' un prodotto che si annulla se si annulla almeno un termine: quindi
- $2x=0$
- $y^2+log(y^2 +e))=0$.
$x=0$ è soluzione (indicata anche da te) mentre il secondo termine non si annulla mai. Infatti si era detto
- $y^2$ è sempre non negativo per qualsiasi $y$
- $y^2 + e >=e$ dunque, direttamente dalla precedente
Da quest'ultima segue $log(y^2 + e)\ge log(e) = 1$, cioè $log(y^2 + e)>=1$: questa teniamocela a mente per dopo, la chiamo (1).
Questa sostituzione la posso fare perché il logaritmo di variabile reale è una funzione iniettiva e quindi mantiene le disuguaglianze.

L'unica cosa che estraiamo che l'unica soluzione o, in generale, l'unica utilità della prima equazione è $x=0$: infatti, se tentassimo di estrarre la $y$ non ci riusciremmo perché una volta tolta la $x$ resta
$y^2+ log(y^2 + e)=0$, cioè $y^2 = -log(y^2 + e)$ che va studiata graficamente perché non si può risolvere con metodi tradizionali. Però sappiamo già che non esiste una radice.

Equazione 2.
$(2x^2 y(y^2+e+1))/(y^2+e)=0$
Possiamo scriverla come
$2x^2 [y(y^2+e+1))/(y^2+e)]=0$
Se, in essa inseriamo l'$x=0$ di quella sopra (è pur sempre un sistema), otteniamo $0=0$, cioè è un'identità e quindi vale per ogni $y$. Inoltre non ci sono problemi di dominio perché $y^2 + e>=e>0$ (dunque non si annulla).
Sulla seconda premetto che ci sarebbe da ritornare in seguito, ma per ora lasciamo qui, chiamo (2) questo punto.

Una prima soluzione (poi torneremo sulla seconda) è $x=0$ che è un'intera retta critica che può essere di massimo e/o minimo o altro.

Fino a qui andava comunque bene anche se potevi utilizzare l'Hessiano. Il discorso diventa differente da qui in poi.

Va bene fino a qui?

Un appunto.
Ricordiamo brevemente una cosa.
Quando abbiamo un sistema di equazioni del tipo
{(g_1 (x,y)=0),(g_2 (x,y)=0):}
in genere si cerca di esplicitare una variabile (mediante vari giochetti o osservazioni) da un'equazione per portarla nell'altra in modo da trovare l'altra.
Nel nostro caso ho agito in modo indipendente perché dalla prima equazione posso solo estrarre $x=0$.
Ricordiamo infatti che se potevo estrarre la $y$, cioè se avessi avuto qualcosa come $3x(y-1)=0$, oltre a $x=0$ dovevo tener conto, in un secondo momento, del $y=1$ da portare all'altra equazione.

EDIT.
Avevo capito male dal tuo messaggio, però lascio lo stesso quello che ho scritto (lo spoilerizzo per ordine): lo tolgo in seguito se non serve.

Se tu non hai capito solo il fatto dell'$x=0$, riparto brevemente da qui.
Prendiamo la tua funzione, che è $f(x,y) = x^2 y^2 + x^2 log(y^2 +e))$.
In essa
- $x^2 y^2$ è sempre non negativo
- $log(y^2 + e)>=1$ quindi è sempre non negativo (la motivazione l'ho scritta nello spoiler ed è la (1))
- dalla precedente, abbiamo $x^2 log(y^2 +e))\ge 0$ perché ad una quantità sempre positiva (scritto sopra) si moltiplica una che non è mai negativa.

Cosa concludiamo, allora?
Che la nostra funzione è somma di due quantità sempre non negative.

Se hai capito questo, puoi osservare la seguente cosa.
Nel luogo dei punti critici, cioè $x=0$, $f(x,y)=0$, quindi se in una funzione che assume sempre valori non negativi, abbiamo che in un punto (o in una retta) è nulla, vuol dire che quel punto (nel nostro caso retta) è di ...?

Un ultima nota: per pignoleria assoluta, avremmo dovuto osservare che la funzione non è costante (se è costante, infatti, tutti i punti sono contemporaneamente di massimo/minimo), ma lo diamo per buono che non sia costante. Se proprio vuoi dimostrarlo basta che vedi $f(1,1)=1+log(1+e)$ mentre $f(0,0)=0$ tanto per farla facile...

[Tommy85]

ora ho capito ti ringrazio gentilissimo..visto che la funzione nn è mai negativa l'asse x è di minimo

[Zero87]

"scarsetto"::smt023 ora ho capito ti ringrazio gentilissimo..visto che la funzione nn è mai negativa l'asse x è di minimo

Se ti si chiede di non passare per l'Hessiano, devi aguzzare la vista e bussare alle proprietà della funzione o della derivata prima. In questo caso hai a che fare con una funzione sempre non negativa quindi è logico supporre che che se assume valore nullo dove lo assume si ha a che fare con un minimo.
Poi, però, per pignoleria occorre controllare che non è costante ma, per questo, basta prendere 2 punti a caso e sperare che in essi la funzione assume valori differenti.

Il bello è che wolframalpha mi dà ragione: ieri sera ho visto nel grafico la conferma che $x=0$ è di minimo. Buono studio!

[gio73]

"Zero87":
Se ti si chiede di non passare per l'Hessiano, devi aguzzare la vista e bussare alle proprietà della funzione ...

Bella immagine, quasi poetica...

[Zero87]

"gio73":[quote="Zero87"]
Se ti si chiede di non passare per l'Hessiano, devi aguzzare la vista e bussare alle proprietà della funzione ...

Bella immagine, quasi poetica...[/quote]
L'Analisi Matematica in sé è poesia!

(Anche se in molti casi non la capisco... per es. l'analisi funzionale!)

[gio73]

Lo penso anche io, bisogna spiegarlo a our Marco in the English corner