Punti critici e di che natura
Traccia: trovare i punti critici e definire la natura evitando di utilizzare la matrice hessiana
$f(x,y)=x^2+y^2-1/2(x^2+y^2)^2$
$nabla=(-2x(x^2+y^2-1),-2y(x^2+y^2-1))=(0,0)$
Facendo i calcoli ho trovato i punti critici che penso siano $A(0,1)$ $B(0,-1)$ $C(1,0)$ $(-1,0)$
Ora per capire la natura come faccio senza utilizzare la matrice? Forse ci sarà un altro metodo anche perché con la matrice ci sono da fare molti conti
$f(x,y)=x^2+y^2-1/2(x^2+y^2)^2$
$nabla=(-2x(x^2+y^2-1),-2y(x^2+y^2-1))=(0,0)$
Facendo i calcoli ho trovato i punti critici che penso siano $A(0,1)$ $B(0,-1)$ $C(1,0)$ $(-1,0)$
Ora per capire la natura come faccio senza utilizzare la matrice? Forse ci sarà un altro metodo anche perché con la matrice ci sono da fare molti conti
Risposte
attenzione! tutta la circonferenza $x^2+y^2 = 1$ annulla il gradiente. quindi tutti i punti che stanno su di essa, non solo quelli da te individuati.
i punti stazionari sono quelli sulla circonferenza unitaria e l'origine.
la funzione data ha simmetria cilindrica. infatti se la scrivi in coordinate cilindriche, ottieni:
$f = \rho^2 - 1/2 \rho^4$
e non hai nessuna dipendenza dall'angolo longitudinale (io lo chiamo $\phi$, i matematici lo chiamano $\theta$... è l'angolo che spanna il piano $xy$ insomma) che indica appunto la simmetria cilindrica.
ora disegna e studia questa funzione nell'origine $\rho = 0$ e nel punto $\rho = 1$ (corrisponde ad un qualsiasi punto sulla circonferenza) e determini così la natura dei punti stazionari della funzione data.
i punti stazionari sono quelli sulla circonferenza unitaria e l'origine.
la funzione data ha simmetria cilindrica. infatti se la scrivi in coordinate cilindriche, ottieni:
$f = \rho^2 - 1/2 \rho^4$
e non hai nessuna dipendenza dall'angolo longitudinale (io lo chiamo $\phi$, i matematici lo chiamano $\theta$... è l'angolo che spanna il piano $xy$ insomma) che indica appunto la simmetria cilindrica.
ora disegna e studia questa funzione nell'origine $\rho = 0$ e nel punto $\rho = 1$ (corrisponde ad un qualsiasi punto sulla circonferenza) e determini così la natura dei punti stazionari della funzione data.
Ziel van brand:
attenzione! tutta la circonferenza $x^2+y^2 = 1$ annulla il gradiente. quindi tutti i punti che stanno su di essa, non solo quelli da te individuati.
i punti stazionari sono quelli sulla circonferenza unitaria e l'origine.
la funzione data ha simmetria cilindrica. infatti se la scrivi in coordinate cilindriche, ottieni:
$f = \rho^2 - 1/2 \rho^4$
e non hai nessuna dipendenza dall'angolo longitudinale (io lo chiamo $\phi$, i matematici lo chiamano $\theta$... è l'angolo che spanna il piano $xy$ insomma) che indica appunto la simmetria cilindrica.
ora disegna e studia questa funzione nell'origine $\rho = 0$ e nel punto $\rho = 1$ (corrisponde ad un qualsiasi punto sulla circonferenza) e determini così la natura dei punti stazionari della funzione data.
Come fai a capire che tutta la circonferenza annulla il gradiente?
beh... è scritto molto chiaramente:
immagino che tu abbia fatto solo questo ragionamento, giusto, ma incompleto:
quando $x=0$ la prima componente si annulla, e la a seconda può darmi o $y = 0$ o $y = \pm 1$. allo stesso modo, quando $y=0$ la seconda componente si annulla e la prima mi restituisce o $x = 0 $ o $x = \pm 1$.
quindi punti che annullano il gradiente sono solo:
\( A(0,1) \) \( B(0,-1) \) \( C(1,0) \) \( (-1,0) \)
in realtà non ti sei chiesto cosa succede quando $(x^2+y^2-1) = 0$. quel che succede è che questa condizione annulla entrambe le componenti del gradiente, quindi tutti i punti che soddisfano questa condizione sono stazionari.
"scarsetto":
[...]
$\nabla f -> (x(x^2+y^2-1), y(x^2+y^2-1)) = (0,0)$
[...]
immagino che tu abbia fatto solo questo ragionamento, giusto, ma incompleto:
quando $x=0$ la prima componente si annulla, e la a seconda può darmi o $y = 0$ o $y = \pm 1$. allo stesso modo, quando $y=0$ la seconda componente si annulla e la prima mi restituisce o $x = 0 $ o $x = \pm 1$.
quindi punti che annullano il gradiente sono solo:
\( A(0,1) \) \( B(0,-1) \) \( C(1,0) \) \( (-1,0) \)
in realtà non ti sei chiesto cosa succede quando $(x^2+y^2-1) = 0$. quel che succede è che questa condizione annulla entrambe le componenti del gradiente, quindi tutti i punti che soddisfano questa condizione sono stazionari.
"Ziel van brand":
attenzione! tutta la circonferenza $x^2+y^2 = 1$ annulla il gradiente. quindi tutti i punti che stanno su di essa, non solo quelli da te individuati.
i punti stazionari sono quelli sulla circonferenza unitaria e l'origine.
la funzione data ha simmetria cilindrica. infatti se la scrivi in coordinate cilindriche, ottieni:
$f = \rho^2 - 1/2 \rho^4$
e non hai nessuna dipendenza dall'angolo longitudinale (io lo chiamo $\phi$, i matematici lo chiamano $\theta$... è l'angolo che spanna il piano $xy$ insomma) che indica appunto la simmetria cilindrica.
ora disegna e studia questa funzione nell'origine $\rho = 0$ e nel punto $\rho = 1$ (corrisponde ad un qualsiasi punto sulla circonferenza) e determini così la natura dei punti stazionari della funzione data.
Ma come fai a capire la natura dei punti critici?
te l'ho scritto:
"Ziel van brand":
[...]
ora disegna e studia questa funzione nell'origine $\rho = 0$ e nel punto $\rho = 1$ (corrisponde ad un qualsiasi punto sulla circonferenza) e determini così la natura dei punti stazionari della funzione data.
"Ziel van brand":[/quote]
te l'ho scritto:
[quote="Ziel van brand"][...]
ora disegna e studia questa funzione nell'origine $\rho = 0$ e nel punto $\rho = 1$ (corrisponde ad un qualsiasi punto sulla circonferenza) e determini così la natura dei punti stazionari della funzione data.
Mi potresti dare qualche altro suggerimento nn riesco a capire
se un oggetto ha particolari simmetrie, è conveniente studiarlo tenendo conto delle simmetrie per semplificarsi la vita.
se quindi mi vien data una funzione di due variabili ma che posso riscrivere come funzione di una variabile, dato che ha simmetria cilindrica, tanto vale studiare quest'ultima che è una funzione di UNA sola variabile.
questa seconda funzione ha chiaramente in sè le stesse identiche informazioni della prima, col vantaggio che è ad una sola variabile.
pensa alla funzione $z = \sqrt(x)$, se la fai ruotare attorno all'asse $z$, ottieni un oggetto a simmetria cilindrica. sai già che la radice ha una cuspide in $x = 0$, quindi chiaramente questa caratteristica viene ereditata dalla funzione ottenuta facendola ruotare.
io a te sto consigliando di fare il processo inverso: hai una funzione a simmetria cilindrica, che è quindi ottenuta dalla rotazione di una funzione ad una sola variabile attorno all'asse $z$. le informazioni che possiede la funzione iniziale sono contenute tali e quali nella funzione ad una sola variabile.
questo ragionamento, se lo hai compreso, dovrebbe portarti ad alcune considerazioni:
- gli unici punti estremanti possono essere o l'origine o stare su una circonferenza
- non puoi avere dei punti di sella che assomiglino davvero alla sella dei cavalli. quest'ultima infatti non ha simmetria cilindrica. gli unici "punti di sella" che puoi aspettarti sono piuttosto dei flessi.
capì?
se quindi mi vien data una funzione di due variabili ma che posso riscrivere come funzione di una variabile, dato che ha simmetria cilindrica, tanto vale studiare quest'ultima che è una funzione di UNA sola variabile.
questa seconda funzione ha chiaramente in sè le stesse identiche informazioni della prima, col vantaggio che è ad una sola variabile.
pensa alla funzione $z = \sqrt(x)$, se la fai ruotare attorno all'asse $z$, ottieni un oggetto a simmetria cilindrica. sai già che la radice ha una cuspide in $x = 0$, quindi chiaramente questa caratteristica viene ereditata dalla funzione ottenuta facendola ruotare.
io a te sto consigliando di fare il processo inverso: hai una funzione a simmetria cilindrica, che è quindi ottenuta dalla rotazione di una funzione ad una sola variabile attorno all'asse $z$. le informazioni che possiede la funzione iniziale sono contenute tali e quali nella funzione ad una sola variabile.
questo ragionamento, se lo hai compreso, dovrebbe portarti ad alcune considerazioni:
- gli unici punti estremanti possono essere o l'origine o stare su una circonferenza
- non puoi avere dei punti di sella che assomiglino davvero alla sella dei cavalli. quest'ultima infatti non ha simmetria cilindrica. gli unici "punti di sella" che puoi aspettarti sono piuttosto dei flessi.
capì?
Ciao a entrambi
mi sembra di aver parlato con scarsetto di questa stessa funzione qui.
Le spiegazioni di Ziel ti hanno chiarito le idee?
Mi fa piacere che le tue citazioni siano ora più chiare...
mi sembra di aver parlato con scarsetto di questa stessa funzione qui.
Le spiegazioni di Ziel ti hanno chiarito le idee?
Mi fa piacere che le tue citazioni siano ora più chiare...
"gio73":
Ciao a entrambi
[...]
Mi fa piacere che le tue citazioni siano ora più chiare...
"tue" di chi? mie? o.O
citavo a vanvera un tempo? o.o
No no ... parlo a Scarsetto, il moderatore Seneca ha chiuso il precedente 3d (stesso argomento) perchè Scarsetto aveva disinserito il BBcode
si si ora ho capito grazie...quindi quando il comando mi dice dimostrare la natura dei punti basta che scrivo tutto il concetto
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