Punti critici di una funzione in due variabili
Salve a tutti, sto avendo difficoltà a calcolare i punti critici della funzione:
\(\displaystyle f(x,y)=(x^2+y^2)^3-3(x^2+y^2) \).
ho calcolato le derivate parziali:
\(\displaystyle f_x=6x(x^2+y^2)^2-6x \)
\(\displaystyle f_y=6y(x^2+y^2)^2-6y \)
ma mi servirebbe aiuto per risolvere il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} f_x=6x(x^2+y^2)^2-6x=0 \\
f_y=6y(x^2+y^2)^2-6y=0 \end{cases} \).
sicuramente (0,0) è soluzione, ma non credo sia l'unica, dovrebbero essere anche
\(\displaystyle (x,y):x^2+y^2=\pm 1 \) ?
Grazie in Anticipo
\(\displaystyle f(x,y)=(x^2+y^2)^3-3(x^2+y^2) \).
ho calcolato le derivate parziali:
\(\displaystyle f_x=6x(x^2+y^2)^2-6x \)
\(\displaystyle f_y=6y(x^2+y^2)^2-6y \)
ma mi servirebbe aiuto per risolvere il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} f_x=6x(x^2+y^2)^2-6x=0 \\
f_y=6y(x^2+y^2)^2-6y=0 \end{cases} \).
sicuramente (0,0) è soluzione, ma non credo sia l'unica, dovrebbero essere anche
\(\displaystyle (x,y):x^2+y^2=\pm 1 \) ?
Grazie in Anticipo
Risposte
Scusa, vorresti dire $x^2+y^2 = +1$ no?
Comunque, raccogli 6x e 6y e applichi la legge dell'annullamento del prodotto.
Comunque, raccogli 6x e 6y e applichi la legge dell'annullamento del prodotto.
"franc3sc0":
Scusa, vorresti dire $x^2+y^2 = +1$ no?
Comunque, raccogli 6x e 6y e applichi la legge dell'annullamento del prodotto.
sisi,ovviamente non può mai essere \(\displaystyle x^2+y^2=-1 \).
Con la legge dell'annullamento del prodotto quello che trovo è sempre (0,0) e i punti tali che:
\(\displaystyle x^2+y^2=1 \).
Quindi in conclusione quali sono i punti critici
"kondor":
Con la legge dell'annullamento del prodotto quello che trovo è sempre (0,0) e i punti tali che:
\(\displaystyle x^2+y^2=1 \).
Quindi in conclusione quali sono i punti critici
Ciao Kondor,
non entro nel merito di tutto il 3d, solo in questo passaggio, rispondi alla domanda:
quali punti sono tali che la somma dei quadrati delle loro coordinate è 1?
Se tornassi in III liceo e ti chiedessero di disegnare sul piano i punti che soddisfano l'equazione
$x^2+y^2=1$ cosa disegneresti?
@kondor
Ti faccio solo notare che si è in presenza di una simmetria centrale rispetto all'origine. Ergo, se passi a coordinate polari, svanisce la dipendenza da $[theta]$:
$[f(r,theta)=r^6-3r^2]$
Derivando rispetto ad $[r]$:
$[f'(r)=6r^5-6r=6r(r^2+1)(r+1)(r-1)=0] rarr [r=0] vv [r=1]$
Se ne studi anche il segno, è sufficiente il solo fattore $[r-1]$, dovresti comprendere la natura dei punti critici. So che non è l'usuale modo di procedere. Tuttavia, è sempre istruttivo considerare anche metodi alternativi. Ho voluto mettere le mani avanti. Per eventuali rimostranze, ti prego, sentiti libero di esternarle. Con le dovute maniere s'intende.
Ti faccio solo notare che si è in presenza di una simmetria centrale rispetto all'origine. Ergo, se passi a coordinate polari, svanisce la dipendenza da $[theta]$:
$[f(r,theta)=r^6-3r^2]$
Derivando rispetto ad $[r]$:
$[f'(r)=6r^5-6r=6r(r^2+1)(r+1)(r-1)=0] rarr [r=0] vv [r=1]$
Se ne studi anche il segno, è sufficiente il solo fattore $[r-1]$, dovresti comprendere la natura dei punti critici. So che non è l'usuale modo di procedere. Tuttavia, è sempre istruttivo considerare anche metodi alternativi. Ho voluto mettere le mani avanti. Per eventuali rimostranze, ti prego, sentiti libero di esternarle. Con le dovute maniere s'intende.
Ciao speculor,
il tuo intervento è stato illuminante. Quando Kondor avrà esaurito i suoi dubbi ti chiederò di controllare le mie osservazioni (come ti sarai accorto mi piace immaginare il grafico delle funzioni in due variabili).
il tuo intervento è stato illuminante. Quando Kondor avrà esaurito i suoi dubbi ti chiederò di controllare le mie osservazioni (come ti sarai accorto mi piace immaginare il grafico delle funzioni in due variabili).
Troppo buona, come al solito.
E ti riesce piuttosto bene. Tra l'altro, come probabilmente avrai già notato, se sezioni il grafico tridimensionale della funzione con un generico piano contenente l'asse z, data la simmetria, ti ritrovi la funzione $[f(r)]$ di cui sopra.
A proposito, e scusami per l'OT, chi ha lavato i piatti stasera? Voglio dire, se nessuno proprio ti aiuta, vedo di rimediarti una lavastoviglie.
"gio73":
Come ti sarai accorto mi piace immaginare il grafico delle funzioni in due variabili.
E ti riesce piuttosto bene. Tra l'altro, come probabilmente avrai già notato, se sezioni il grafico tridimensionale della funzione con un generico piano contenente l'asse z, data la simmetria, ti ritrovi la funzione $[f(r)]$ di cui sopra.
A proposito, e scusami per l'OT, chi ha lavato i piatti stasera? Voglio dire, se nessuno proprio ti aiuta, vedo di rimediarti una lavastoviglie.
"speculor":
A proposito, e scusami per l'OT, chi ha lavato i piatti stasera? Voglio dire, se nessuno proprio ti aiuta, vedo di rimediarti una lavastoviglie.
L'abbiamo sostituita con una nuova giusto il mese scorso!
"gio73":
L'abbiamo sostituita con una nuova giusto il mese scorso!
Mannaggia. Sono arrivato tardi.
"gio73":
Ciao Kondor,
non entro nel merito di tutto il 3d, solo in questo passaggio, rispondi alla domanda:
quali punti sono tali che la somma dei quadrati delle loro coordinate è 1?
Se tornassi in III liceo e ti chiedessero di disegnare sul piano i punti che soddisfano l'equazione
$x^2+y^2=1$ cosa disegneresti?
La circonferenza di centro l'origine e raggio 1..
"speculor":
@kondor
Ti faccio solo notare che si è in presenza di una simmetria centrale rispetto all'origine. Ergo, se passi a coordinate polari, svanisce la dipendenza da $[theta]$:
$[f(r,theta)=r^6-3r^2]$
Derivando rispetto ad $[r]$:
$[f'(r)=6r^5-6r=6r(r^2+1)(r+1)(r-1)=0] rarr [r=0] vv [r=1]$
Se ne studi anche il segno, è sufficiente il solo fattore $[r-1]$, dovresti comprendere la natura dei punti critici. So che non è l'usuale modo di procedere. Tuttavia, è sempre istruttivo considerare anche metodi alternativi. Ho voluto mettere le mani avanti. Per eventuali rimostranze, ti prego, sentiti libero di esternarle. Con le dovute maniere s'intende.
Grazie per il metodo alternativo,dalle soluzioni abbiamo scartato \(\displaystyle \rho=-1 \) per il fatto che rappresenta una distanza e quindi non può essere negativa?
"kondor":
Grazie per il metodo alternativo,dalle soluzioni abbiamo scartato \(\displaystyle \rho=-1 \) per il fatto che rappresenta una distanza e quindi non può essere negativa?
Certamente.
"kondor":
[quote="gio73"]
Ciao Kondor,
non entro nel merito di tutto il 3d, solo in questo passaggio, rispondi alla domanda:
quali punti sono tali che la somma dei quadrati delle loro coordinate è 1?
Se tornassi in III liceo e ti chiedessero di disegnare sul piano i punti che soddisfano l'equazione
$x^2+y^2=1$ cosa disegneresti?
La circonferenza di centro l'origine e raggio 1..
[/quote]
Sì
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