Punti critici di una funzione in due variabili:
Ho tale funzione :
$y^2-arctan(x^2+y^2)$
Ho trovato come unico punto stazionario$ A(0,0)$ , la matrice Hessiana viene nulla quindi studio $f(x,y)-f(x_0,y_0)>=0$ ma come si studia tale funzione? Qualche input?
$y^2-arctan(x^2+y^2)$
Ho trovato come unico punto stazionario$ A(0,0)$ , la matrice Hessiana viene nulla quindi studio $f(x,y)-f(x_0,y_0)>=0$ ma come si studia tale funzione? Qualche input?
Risposte
prendi un punto.. chiamalo $\eta\in (0,0)^T$
e vedi cosa fa la funzione.. tipo prendi la funzione $f(x,\eta)$ per esempio..oppure $f(\eta, y)$
e fai variare prima $\eta$ e poi $y$ se nel primo caso viene >0 e nel secondo caso viene $<0$ allora è sella!
non so se ho reso l'idea..
e vedi cosa fa la funzione.. tipo prendi la funzione $f(x,\eta)$ per esempio..oppure $f(\eta, y)$
e fai variare prima $\eta$ e poi $y$ se nel primo caso viene >0 e nel secondo caso viene $<0$ allora è sella!
non so se ho reso l'idea..
@21zuclo: che cosa significa $f(x, eta)$ dal momento che $eta$ già da solo è un punto nel piano?
Non riesco a procedere.. non so come fare :S
@dissonance
avevo sbagliato a scrivere..me ne accorgo solamente ora..
volevo scrivere prendi $\eta \in U(0,0)$ cioè nell'intorno del punto $((0),(0))$
questo volevo scrivere..chiedo scusa..
avevo sbagliato a scrivere..me ne accorgo solamente ora..
volevo scrivere prendi $\eta \in U(0,0)$ cioè nell'intorno del punto $((0),(0))$
questo volevo scrivere..chiedo scusa..
E vabbè, siamo sempre là. 
Se $\eta$ è in un intorno allora è già un punto del piano. Cosa indica la scrittura $(\eta , x)$?
PS: Non devi chiedere scusa, mica ti sto accusando di qualcosa. Secondo me c'è un errore e lo faccio notare, stop.
Se $\eta$ è in un intorno allora è già un punto del piano. Cosa indica la scrittura $(\eta , x)$?PS: Non devi chiedere scusa, mica ti sto accusando di qualcosa. Secondo me c'è un errore e lo faccio notare, stop.
Io comunque userei le coordinate polari, ottenendo l'espressione per \(f\)
\[
f(r\cos \theta, r\sin \theta)=r^2\cos^2\theta -\arctan(r^2).\]
Per capire cosa succede quando \(r>0\) è piccolina, conviene espandere l'arcotangente in serie di Taylor. Direi che il primo ordine non basta ma il successivo credo proprio di si.
\[
f(r\cos \theta, r\sin \theta)=r^2\cos^2\theta -\arctan(r^2).\]
Per capire cosa succede quando \(r>0\) è piccolina, conviene espandere l'arcotangente in serie di Taylor. Direi che il primo ordine non basta ma il successivo credo proprio di si.
a ognuno il suo modo.. ci sono differenti modi quando l'hessiano è nullo..
il mio esercitatore..ci aveva pure detto il metodo delle rette per esempio..
oppure come hai fatto tu ora..in polari.. oppure come ho scritto io prima..spiengadomi un po' male però XD..
il mio esercitatore..ci aveva pure detto il metodo delle rette per esempio..
oppure come hai fatto tu ora..in polari.. oppure come ho scritto io prima..spiengadomi un po' male però XD..
Ho provato con lo sviluppo di Taylor ma ottengo nessun risultato.
Nessun risultato significa che non hai fatto niente. Fai vedere cosa hai fatto se vuoi qualche suggerimento.
Certo! Come mi avete suggerito sopra utilizzo Taylor ed ho:
$y^2- x^2-y^2-((x^2+y^2)^3)/27 >=0$ l'ho riscritta come$ -((x^2+y^2)^3)/27>=x^2$ ma una quantità negativa non è mai > di una positiva...
$y^2- x^2-y^2-((x^2+y^2)^3)/27 >=0$ l'ho riscritta come$ -((x^2+y^2)^3)/27>=x^2$ ma una quantità negativa non è mai > di una positiva...
Lo sviluppo è sbagliato, da dove esce quel $27$? Ma soprattutto, occhio al segno dell'ultimo termine. Quel segno è la cosa più importante. (Inoltre, non puoi ignorare il resto così: c'è sempre un $O((x^2+y^2)^5)$ che ti devi portare dietro.)
Aggiusta queste cose e ragiona sulla restrizione della funzione agli assi. Che segno ha?
Aggiusta queste cose e ragiona sulla restrizione della funzione agli assi. Che segno ha?
Sull'asse x=0 ho un segno non definito. Mentre su y=0 ho un minimo in (0,0) , credo di aver sbagliato qualcosa... Ho semplicemente sostituito x=0 nello sviluppo e studiato il segno...
Dai forza che ci sei. Devi essere più sicuro di te, ci sei arrivato ormai. Sull'asse delle \(y\), ovvero per \(x=0\), la funzione è
\[
f(0, y)=+\frac{y^6}{3}+O(y^{10}).
\]
Sull'asse delle \(x\), ovvero per \(y=0\), la funzione è
\[
f(x, 0)=-x^2+O(x^6).
\]
Tutte e due le funzioni hanno un segno ben definito, a patto di essere sufficientemente vicini all'origine così che i resti non interferiscano. Ma qual è questo segno? Cosa possiamo concludere riguardo la natura del punto critico per la funzione di due variabili da cui siamo partiti?
Nota bene: forse stai pensando che io ti stia facendo fare un esercizio inutile. Non è così: questa tecnica è generale e funzionerà ogni volta che hai un punto critico isolato con matrice Hessiana non definita di segno.
\[
f(0, y)=+\frac{y^6}{3}+O(y^{10}).
\]
Sull'asse delle \(x\), ovvero per \(y=0\), la funzione è
\[
f(x, 0)=-x^2+O(x^6).
\]
Tutte e due le funzioni hanno un segno ben definito, a patto di essere sufficientemente vicini all'origine così che i resti non interferiscano. Ma qual è questo segno? Cosa possiamo concludere riguardo la natura del punto critico per la funzione di due variabili da cui siamo partiti?
Nota bene: forse stai pensando che io ti stia facendo fare un esercizio inutile. Non è così: questa tecnica è generale e funzionerà ogni volta che hai un punto critico isolato con matrice Hessiana non definita di segno.
Praticamente lavorando nell'intorno del punto $(0,0)$ e vedendo che comunque prese due direzioni del punto il segno è diverso, posso assumere il punto come di sella ! Però avrei due dubbi. Il primo è che io mi trovo su$ y=0$ la funzione:
$-x^2+x^6/3$ ... e il secondo dubbio che mi manda in confusione è che nel caso che hai studiato(spero di poterti dare del tu) hai considerato semplicemente le funzioni sulle restrizioni, e non le disequazioni. Quindi mi basta trovare che la funzione assuma segno diverso su due restrizioni per assolvere che il punto è di sella? perchè io avevo $-x^2>=0$ che è vera solo per $x=0$...ed ovviamente non mi da notizie sul segno!
$-x^2+x^6/3$ ... e il secondo dubbio che mi manda in confusione è che nel caso che hai studiato(spero di poterti dare del tu) hai considerato semplicemente le funzioni sulle restrizioni, e non le disequazioni. Quindi mi basta trovare che la funzione assuma segno diverso su due restrizioni per assolvere che il punto è di sella? perchè io avevo $-x^2>=0$ che è vera solo per $x=0$...ed ovviamente non mi da notizie sul segno!
Sul primo dubbio, ragiona sempre sugli ordini di grandezza delle cose. Quando \(x\) è molto piccola, avendo davanti \(x^2\) e \(x^6\), devi accorgerti subito che una delle due è estremamente più piccola rispetto all'altra. Ricorda che stai conducendo una analisi asintotica, quindi hai la facoltà di metterti in un intorno dell'origine piccolo quanto vuoi. Se hai dei dubbi, fai tutti i passaggi: vuoi confrontare i due termini
\[
\begin{array}{cc}
x^2, & x^6+O(x^{10}),
\end{array}\]
quindi prendi il rapporto
\[
\frac{x^6 + O(x^{10})}{x^2}\]
e osservi che tende a \(0\) quando \(x\to 0\). Quindi esiste certamente un \(\delta>0\) tale che
\[
\forall x \in (-\delta, \delta), \ x^6+O(x^{10})\le x^2, \]
e questo ti dice che \(f(x, 0)\) ha segno negativo per \(x\) sufficientemente piccole.
L'altro dubbio è espresso piuttosto male (sforzati di esprimerti meglio), ma credo di capire cosa intendi. Hai dei dubbi sul fatto che sia sufficiente studiare la funzione lungo due sole direzioni per concludere qualcosa sul suo comportamento. Infatti hai ragione: in generale, non basta studiare la funzione lungo due sole direzioni. Un esempio che conviene capire e ricordarsi è la funzione \(g(x, y)=xy\), che è nulla lungo i due assi ma nell'origine ha una sella.
Tuttavia, nel nostro caso la cosa è sufficiente. La funzione \(f\) nel punto critico \((0,0)\) vale \(0\), quindi se il punto fosse un massimo dovremmo avere \(f(x, y)\le 0\) in tutto un intorno; se fosse un minimo dovremmo avere \(f(x, y)\ge 0\) in tutto un intorno. Invece abbiamo trovato dei punti arbitrariamente vicini all'origine su cui la funzione è strettamente positiva e degli altri su cui è strettamente negativa. Quindi il punto non può essere né un massimo né un minimo, e quindi è una sella. (D'altra parte, se ti immagini il grafico di una funzione che vale \(y^6\) lungo un asse e \(-x^2\) lungo l'altro asse, ti rendi conto che somiglia a una sella di cavallo).
\[
\begin{array}{cc}
x^2, & x^6+O(x^{10}),
\end{array}\]
quindi prendi il rapporto
\[
\frac{x^6 + O(x^{10})}{x^2}\]
e osservi che tende a \(0\) quando \(x\to 0\). Quindi esiste certamente un \(\delta>0\) tale che
\[
\forall x \in (-\delta, \delta), \ x^6+O(x^{10})\le x^2, \]
e questo ti dice che \(f(x, 0)\) ha segno negativo per \(x\) sufficientemente piccole.
L'altro dubbio è espresso piuttosto male (sforzati di esprimerti meglio), ma credo di capire cosa intendi. Hai dei dubbi sul fatto che sia sufficiente studiare la funzione lungo due sole direzioni per concludere qualcosa sul suo comportamento. Infatti hai ragione: in generale, non basta studiare la funzione lungo due sole direzioni. Un esempio che conviene capire e ricordarsi è la funzione \(g(x, y)=xy\), che è nulla lungo i due assi ma nell'origine ha una sella.
Tuttavia, nel nostro caso la cosa è sufficiente. La funzione \(f\) nel punto critico \((0,0)\) vale \(0\), quindi se il punto fosse un massimo dovremmo avere \(f(x, y)\le 0\) in tutto un intorno; se fosse un minimo dovremmo avere \(f(x, y)\ge 0\) in tutto un intorno. Invece abbiamo trovato dei punti arbitrariamente vicini all'origine su cui la funzione è strettamente positiva e degli altri su cui è strettamente negativa. Quindi il punto non può essere né un massimo né un minimo, e quindi è una sella. (D'altra parte, se ti immagini il grafico di una funzione che vale \(y^6\) lungo un asse e \(-x^2\) lungo l'altro asse, ti rendi conto che somiglia a una sella di cavallo).
Assolutamente perfetto ! Grazie mille ! mi è tutto più chiaro !
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