Punti critici di una funzione in 2 variabili, dubbio

[effez]

La funzione è $f(x,y)=(y-4x^2)(y-2)^2$ .
Se voglio risolvere graficamente l'esercizio, $y=4x^2$ è una parabola, mentre $(y-2)^2$ come la tratto?

[Alegomind]

Se non vedo male dovrebbe essere una una retta, esattamente la retta y=2. Infatti per trovare le funzioni da cui è composta la tua funzione di più variabili, proprio come hai fatto prendi le due componenti $(y-4x^2)$ e $(y-2)^2$ e le uguguagli a zero, scegliendo una variabile indipendente e un dipendente. Nel caso di $(y-2)^2$ ottieni la retta $(y-2)^2=0 => y=2$

[effez]

Ok, quindi io avrei un grafico di questo tipo?

[Alegomind]

Ciao, mi scuso immediatamente ma credo di averti portato sulla cattiva strada. Sono stato troppo precipitoso nel rispondere e nel guardare il testo, infatti nel momento in cui studi il segno di $(y-2)^2$, vale a dire quando studi la disequazione $(y-2)^2>=0$ non ottieni una retta ma bensì la parabola $y^2-4y+4$, pertanto al posto della retta nel gradico devi disegnare la parabola $y^2-4y+4=0$ ( dunque con asse di simmetria parallello all'asse della asciesse). Scusami ancora per la disattenzione, in linea di massima dovresti ottenere il seguente grafico:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f ... %3D%28y-4x^2%29%28y-2%29^2

[effez]

Quindi il grafico ora è così? Perché il punto (0,2/3) in teoria dovrebbe essere un massimo

[effez]

Infatti calcolando con Hessiana esce (0,2/3) come punto di massimo

[@melia]

$(y-2)^2=0$ non è una parabola, ma una retta, per essere precisi due rette sovrapposte,
quindi $(y-2)^2>=0$ è nulla per $y=2$ e positiva per ogni altro valore di $y$.

[effez]

Quindi come grafico io avrei tutto positivo all'interno della parabola $y-4x^2 $ e negativo all'esterno, giusto?

[effez]

E poi un altro dubbio... Come punto critico ho trovato (0,2). Come ne studio la sua natura essendo su una retta con valore nullo?

[@melia]

Ho visto un errore nella disequazione in due variabili e l'ho corretto. Non sono in grado di aiutarti di più.

[effez]

Ok, grazie