Punti critici di una funzione di due variabili
Considerata la funzione f(x,y)=$x^2$y log($x^2$+1), se ne determinino gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo in $RR^2$
A me è uscito che l'unico punto critico di questa funzione è tutta la retta x=0, (correggetemi se sbaglio) e la matrice Hessiana mi è uscita nulla, (sempre considerando che non ho sbagliato a fare i conti), che faccio?
A me è uscito che l'unico punto critico di questa funzione è tutta la retta x=0, (correggetemi se sbaglio) e la matrice Hessiana mi è uscita nulla, (sempre considerando che non ho sbagliato a fare i conti), che faccio?
Risposte
l'idea che mi è venuta è questa: considerato che l'essiano è nullo nel punto (0,y) allora considero la restrizione così definita f(x,mx)=r(x)=m$x^3$ log($x^2$+1)
per capire cosa succede a questa funzione in un intorno dello zero considero lo sviluppo di Taylor della funzione arrestato al secondo ordine quindi ottengo
m$x^3$(1+$x^2$+o($x^2$))
Il termine di grado più piccolo m$x^3$ (per ogni m divers oda zero ovviamente) e quindi 0 è un punto di flesso per la funzione r e quindi un generico punto della retta x=0 sarà un punto di sella per la funzione iniziale.
Che ne pensate di questo ragionamento, va bene?
per capire cosa succede a questa funzione in un intorno dello zero considero lo sviluppo di Taylor della funzione arrestato al secondo ordine quindi ottengo
m$x^3$(1+$x^2$+o($x^2$))
Il termine di grado più piccolo m$x^3$ (per ogni m divers oda zero ovviamente) e quindi 0 è un punto di flesso per la funzione r e quindi un generico punto della retta x=0 sarà un punto di sella per la funzione iniziale.
Che ne pensate di questo ragionamento, va bene?
non ricordo bene per quale teorema ...ma dovresti porre il gradiente di quella funzione a 0.
e infatti ho posto il gradiente della funzione uguale a zero è mi è uscito che il gradiente si annulla nel punto (0,y) e in questo punto la matrice Hessiana è la matrice nulla.
"serway":
l'idea che mi è venuta è questa: considerato che l'essiano è nullo nel punto (0,y) allora considero la restrizione così definita f(x,mx)=r(x)=m$x^3$ log($x^2$+1)
per capire cosa succede a questa funzione in un intorno dello zero considero lo sviluppo di Taylor della funzione arrestato al secondo ordine quindi ottengo
m$x^3$(1+$x^2$+o($x^2$))
Il termine di grado più piccolo m$x^3$ (per ogni m divers oda zero ovviamente) e quindi 0 è un punto di flesso per la funzione r e quindi un generico punto della retta x=0 sarà un punto di sella per la funzione iniziale.
Che ne pensate di questo ragionamento, va bene?
ottimo ragionamento
d'altonde, facendo fare un grafichino si vede che è un flesso:
http://www.geocities.com/SiliconValley/ ... 436/gr.htm
quindi i punti sull'asse delle y (per y diverso da zero) non sono né di max né di min
sul fatto che sia di sella, dipende dalla def che vuoi usare di sella (non lo è se richiedi che l'hessiana sia indefinita, e mi sa che non lo è neanche se richiedi che sia di max su una retta e di min su un'altra)
ponendo il gradiente uguale a zero ho che i punti critici della funzione sono tutti i punti appartenenti alla retta x=0, quindi se non è un punto ne di massimo, ne di minimo, ne di sella, che punto critico è?
d'altronde Hf(0,k)=0, cioè la matrice nulla
d'altronde Hf(0,k)=0, cioè la matrice nulla
"serway":
se non è un punto ne di massimo, ne di minimo, ne di sella, che punto critico è?
'na schifezza, ecco cos'è
Un po' più seriamente, tieni conto che già per funzioni di una variabile, un punto di flesso non è né di minimo, né di massimo, né (ovviamente) di sella!
ho capito, grazie per avermi lucidato, questi sono purtroppo gli assistenti mitomani che mettono esercizi strani agli esami, cmq tu hai detto una cosa che mi ha incuriosito, perchè se avessi trovato che il punto fosse stato di massimo in una retta e di minimo in un'altra non posso dire che si tratta di un punto di sella anche in questo caso?
"se avessi trovato che il punto fosse stato di massimo in una retta e di minimo in un'altra non posso dire che si tratta di un punto di sella anche in questo caso?"
no, attenzione, non ho detto questo
se ti capita di avere un punto che è di min su una retta e di max su un'altra, questo è un punto detto di sella da quasi tutti
c'è chi ha qualche perplessità, perché potrebbe essere "degenere", nel senso che non è detto che la hessiana sia indefinita (quindi non è un punto di sella "bello"). Esempio: $x^4 - y^2$
no, attenzione, non ho detto questo
se ti capita di avere un punto che è di min su una retta e di max su un'altra, questo è un punto detto di sella da quasi tutti
c'è chi ha qualche perplessità, perché potrebbe essere "degenere", nel senso che non è detto che la hessiana sia indefinita (quindi non è un punto di sella "bello"). Esempio: $x^4 - y^2$
ok grazie, ho capito^^
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