Punti critici di una funzione a due variabili
Ciao,
vorrei sapere se ho svolto l'esercizio correttamente.
L'esercizio è il seguente:
Determinare tutti i punti critici della funzione f(x,y)= x^2+3y^2-2xy^3 precisandone la natura. La funzione f ammette massimo o minimo globale?
Dopo una serie di calcoli ho trovato due punti critici: P1(0,0) e P2(1,1). Il primo mi risulta un punto di minimo relativo mentre il secondo un punto di sella. E' corretto? A questo punto come vedo se la funzione ammette un max o un min assoluti?
vorrei sapere se ho svolto l'esercizio correttamente.
L'esercizio è il seguente:
Determinare tutti i punti critici della funzione f(x,y)= x^2+3y^2-2xy^3 precisandone la natura. La funzione f ammette massimo o minimo globale?
Dopo una serie di calcoli ho trovato due punti critici: P1(0,0) e P2(1,1). Il primo mi risulta un punto di minimo relativo mentre il secondo un punto di sella. E' corretto? A questo punto come vedo se la funzione ammette un max o un min assoluti?
Risposte
Ti sei persa il punto $P_3=(-,1-1)$, anche quello è critico, ma poi non ce ne sono altri. $P_2$ e $P_3$ sono entrambi punti di sella, mentre $(0,0)$ perché dici che è di minimo locale?
"otta96":
Ti sei persa il punto $P_3=(-,1-1)$, anche quello è critico, ma poi non ce ne sono altri. $P_2$ e $P_3$ sono entrambi punti di sella, mentre $(0,0)$ perché dici che è di minimo locale?
Puoi dirmi come trovo P3(-1,-1)?
Per quanto riguarda il P2, ricontrollando mi sono accorta di aver sbagliato la derivata f^2xx che in realtà è uguale a zero quindi non è classificabile. O sbaglio?
A me viene che $f_(text{xx})=2$, come mai ti viene 0? Comunque $P_3$ l'ho trovato imponendo il gradiente uguale a 0, mi viene il sistema $\{(x=y^3),(y(1-xy)=0):}$, viene così anche a te?
"otta96":
A me viene che $f_(text{xx})=2$, come mai ti viene 0? Comunque $P_3$ l'ho trovato imponendo il gradiente uguale a 0, mi viene il sistema $\{(x=y^3),(y(1-xy)=0):}$, viene così anche a te?
Ah ecco avevo proprio sbagliato il gradiente.. una x di troppo
Forse ci sono arrivata..
Da y(1-xy)=0 trovo y=0 e y=1/x da cui ottengo x=0 e x^4=1. Risolvendo quest'ultimo ottengo x=1 e x=-1 da qui, sostituendo in y=1/x, arrivo ai famosi tre punti di cui mi parlavi all'inizio.
Fin qua è corretto?
Si, adesso per i massimi e minimi globali basta osservare che eventuali punti di minimo e massimo globali sono critici, quindi solo l'origine può essere uno di questi punti, e visto che non è un massimo locale, la funzione non ammette massimo globale.
Minimo globale lo potrebbe avere solo se fosse $(0,0)$, quindi sempre non negativa, ma non è così (dimostralo!).
Rimane da chiarire perché $(0,0)$ sia un punto di minimo LOCALE, tu come lo hai giustificato?
Minimo globale lo potrebbe avere solo se fosse $(0,0)$, quindi sempre non negativa, ma non è così (dimostralo!).
Rimane da chiarire perché $(0,0)$ sia un punto di minimo LOCALE, tu come lo hai giustificato?
"otta96":
Si, adesso per i massimi e minimi globali basta osservare che eventuali punti di minimo e massimo globali sono critici, quindi solo l'origine può essere uno di questi punti, e visto che non è un massimo locale, la funzione non ammette massimo globale.
Minimo globale lo potrebbe avere solo se fosse $(0,0)$, quindi sempre non negativa, ma non è così (dimostralo!).
Rimane da chiarire perché $(0,0)$ sia un punto di minimo LOCALE, tu come lo hai giustificato?
Il teorema dice:
Sia (x0; y0) un punto critico di una funzione f(x; y) di classe C2 . Se
det(Hessf (x0; y0)) < 0 allora (x0; y0) e' un punto sella. Se invece det(Hessf (x0; y0)) > 0
sono possibili due casi:
se fxx(x0; y0) > 0 allora (x0; y0) e' un minimo relativo,
se fxx(x0; y0) < 0 allora (x0; y0) e' un massimo relativo.
In questo caso det(Hessf (0,0))=2>0 e fxx=2 e 2>0
Dove sto sbagliando?
Ci sono 2 errori: il primo è che $det(Hf(0,0))=12$ (almeno a me viene così), la cosa che dici dopo però è sbagliata:
In realtà non è $f_(text{xx})$ che si deve confrontare con 0, ma la traccia dell'hessiano, che (mi) viene 8, quindi in effetti il punto è di minimo locale.
se fxx(x0; y0) > 0 allora (x0; y0) e' un minimo relativo,
se fxx(x0; y0) < 0 allora (x0; y0) e' un massimo relativo.
In realtà non è $f_(text{xx})$ che si deve confrontare con 0, ma la traccia dell'hessiano, che (mi) viene 8, quindi in effetti il punto è di minimo locale.
"otta96":
Ci sono 2 errori: il primo è che $det(Hf(0,0))=12$ (almeno a me viene così), la cosa che dici dopo però è sbagliata:
se fxx(x0; y0) > 0 allora (x0; y0) e' un minimo relativo,
se fxx(x0; y0) < 0 allora (x0; y0) e' un massimo relativo.
In realtà non è $f_(text{xx})$ che si deve confrontare con 0, ma la traccia dell'hessiano, che (mi) viene 8, quindi in effetti il punto è di minimo locale.
Si scusa hai ragione, anche a me il determinante in (0,0) risulta 12.
Comunque ho preso il teorema dalle dispense del professore e guardando gli esempi che ha fatto ho visto che controlla se fxx (xO,yO) sia maggiore o minore di zero. Anche dando uno sguardo su internet ho visto che viene usato molto spesso questo teorema ma in una dispensa riguardante i punti critici ho anche trovato questo:
Lo schema è:
-Det Hessiano>0 con traccia positiva, allora il punto critico è di minimo relativo.
-Det Hessiano>0 con traccia negativa, allora il punto critico è di massimo relativo.
-Det Hessiano<0, allora il punto critico è di sella.
-Det Hessiano=0 non si può dire nulla sulla natura del punto critico.
Quindi probabilmente in entrambi i casi è corretto..
Mi sembra molto strano.... forse assumono che $f_(text{yy})=0$, altrimenti non me lo spiego.
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