Punti critici di una forma quadratica

[CallistoBello]

Ho un dubbio.
In pratica: il testo dimostra che
<< per una forma quadratica: $q(ulh)$, $ulh in R^n$, l'origine è sempre un punto critico>>

Mi chiedo: una forma quadratica può avere punti critici diversi dall'origine?

[pilloeffe]

Ciao CallistoBello,

La faccenda è lievemente "pallosa"...
Consideriamo $ulh := (h_1, h_2,..., h_n) in \RR^n $ sicché si può scrivere:

$q(ulh) = q(h_1, h_2,..., h_n) = \sum_{j = 1}^n \sum_{i = 1}^n a_{ij}h_i h_j $

Ora i punti critici si ottengono imponendo $(\del q)/(\del h_k) = 0 $, per $1 \le k \le n$, ma per fare questo è opportuno riscrivere la definizione della forma quadratica separando tutti i contributi dipendenti da $h_k$ e quelli non dipendenti da $h_k$. Si ha:

$ q = q(h_1, h_2,..., h_n) =\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n a_{ij} h_i h_j = \sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1, i \ne k}^n a_{ij} h_i h_j + a_{kj}h_k h_j\right) = $
$ = \sum_{i=1, i \ne k}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} h_i h_j + \sum_{j=1}^n a_{kj} h_k h_j = $
$ = \sum_{i=1, i \ne k}^n \left(\sum_{j=1, j\ne k}^n a_{ij} h_i h_j + a_{ik} h_i h_k\right) + \sum_{j=1, j \ne k}^n a_{kj} h_k h_j + a_{kk}h_k^2 = $
$ = \sum_{i=1, i \ne k}^n \sum_{j=1, j\ne k}^n a_{ij} h_i h_j + \sum_{i=1, i\ne k}^n a_{ik} h_i h_k + \sum_{j=1, j \ne k}^n a_{kj} h_k h_j + a_{kk}h_{k}^2 $

A questo punto è chiaro che si ha:

$ (\del q)/(\del h_k) = \sum_{i=1, i\ne k}^n a_{ik} h_i + \sum_{j=1, j \ne k}^n a_{kj} h_j + 2a_{kk} h_k = $
$ = \left(\sum_{i=1}^n a_{ik}h_i - a_{kk}h_k\right) + \left(\sum_{j=1}^n a_{kj} h_j - a_{kk} h_k\right) + 2a_{kk} h_k = $
$ = \sum_{i=1}^n a_{ik} h_i + \sum_{j=1}^n a_{kj} h_j $

Indipendentemente dai coefficienti che possono assumere qualsiasi valore, è evidente che se $ulh^0 = (h_1^0, h_2^0,..., h_n^0) = (0, 0,..., 0)$ allora $(\del q)/(\del h_k) = 0 $ per $1 \le k \le n$ e quindi l'origine è sempre un punto critico.

Più brevemente, in notazione vettoriale:

$q(ulh) = ulh^T ulA ulh $

$ (\del q)/(\del ulh) = ulh^T(ulA + ulA^T) $

Indipendentemente da $ (ulA + ulA^T) $ è evidente che se $ulh^0 = (h_1^0, h_2^0,..., h_n^0) = (0, 0,..., 0)$ allora $(\del q)/(\del ulh) = 0 $ e quindi l'origine è sempre un punto critico.

[gugo82]

Beh, dipende... Ad esempio, facciamo il caso di una forma quadratica in tre variabili con associata una matrice simmetrica (rispetto alla base canonica), cioè una cosa del tipo:

$q(x,y,z) = a_(1,1) x^2 + 2a_(1,2) xy + 2a_(1,3) xz + a_(2,2) y^2 + 2a_(2,3) yz + a_(3,3) z^2$;

allora:

$nabla q(x,y,z) = (2a_(1,1) x + 2a_(1,2) y + 2 a_(1,3) z , 2a_(1,2) x + 2 a_(2,2) y + 2 a_(2,3) z, 2a_(1,3) x + 2a_(2,3) y + 2a_(3,3) z) = 2((a_(1,1), a_(1,2), a_(1,3)), (a_(1,2), a_(2,2), a_(2,3)), (a_(1,3), a_(2,3), a_(3,3))) ((x),(y),(z))$

e perciò $mathbf(x)=(x,y,z)$ è critico se e solo se $Amathbf(x) = mathbf(0)$, cioè se $mathbf(x)$ è un vettore del nucleo di $A$, i.e. (come si usa dire) un vettore isotropo.

In generale, il caso in cui alla forma quadratica è associata (rispetto alla base canonica) una matrice simmetrica $A$ è del tutto uguale.
La forma quadratica è del tipo:

$q(mathbf(x)) = << mathbf(x), Amathbf(x)>>$

sicché:

$nabla q(mathbf(x)) = 2A mathbf(x)$.

Ne viene che i punti critici sono tutti e soli quelli che stanno nel nucleo di $A$, cioè i vettori isotropi.
Ad esempio, la forma quadratica:

$q(x,y,z,t) = - x^2 - y^2 + t^2$

ha matrice associata:

$A=((-1, 0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1))$

la quale ha vettori del nucleo del tipo $mathbf(x) = (0,0,z,0)$ e tali vettori sono tutti critici per $q(x,y,z,t)$.