Punti critici di funzione in due variabili
Buongiorno,
ho qualche difficoltà nello studio di questa funzione in due variabili:
Si consideri la funzione \(\displaystyle f(x,y)=x^2(1−y^2) \) definita su \(\displaystyle D=\left \{ (x,y):x^2+y^2≤1 \right \} \). Determinare i punti di massimo assoluto.
Anche se il testo specifica solo i punti di massimo assoluto, non guasterebbe cercare anche altri eventuali punti di massimo/minimo. Comunque io ho iniziato così:
calcolo punti critici:
\(\displaystyle \nabla f(x,y)=(2x(1-y^2), -2x^2y) \)
$ { ( 2x(1-y^2)=0 ),( -2x^2y=0 ):} $
come soluzioni del sistema ottengo i punti del tipo \(\displaystyle (0, y) \)
Procedendo con il calcolo del determinante della matrice Hessiana segue che quest'ultimo è $0$.
Allora non mi resta che cercare i punti critici sul bordo della funzione, perché il dominio della funzione è un insieme compatto, dunque per il teorema di Weierstrass la funzione ammette minimi e massimi assoluti:
parametrizzo il bordo: $r(t)=(cos(t), sin(t)), tin[0, 2pi]$
e studio i punti critici sulla funzione composta $f(r(t))=cos^4(t)$
$f'(r(t))=-4cos^3(t)sin(t)$
$-4cos^3(t)sin(t)=0 <=> cos^3(t)=0 vv sin(t)=0$ da cui:
$cos^3(t)=0 <=> t=pi/2 vv t=(3pi)/2$
$sin(t)=0 <=> t=0 vv t=2pi$
A questo punto non mi è chiaro come trovare le coordinate dei vari punti, in particolare non capisco se devo continuare a lavorare esclusivamente sul bordo.
Considerando la parametrizzazione del bordo $r(t)$ otterrei come punti:
$(0, 1), (0, -1), (1, 0)$ (e di nuovo $(1, 0)$);
devo valutare anche i punti di $f(r(t))$? Perché in questo caso avrei punti nello spazio e non nel piano. E come concludo quali punti sono di massimo o di minimo? Sono un po' confuso anche perché questa parte mi é stata spiegata in maniera "veloce".
Grazie per un eventuale aiuto.
ho qualche difficoltà nello studio di questa funzione in due variabili:
Si consideri la funzione \(\displaystyle f(x,y)=x^2(1−y^2) \) definita su \(\displaystyle D=\left \{ (x,y):x^2+y^2≤1 \right \} \). Determinare i punti di massimo assoluto.
Anche se il testo specifica solo i punti di massimo assoluto, non guasterebbe cercare anche altri eventuali punti di massimo/minimo. Comunque io ho iniziato così:
calcolo punti critici:
\(\displaystyle \nabla f(x,y)=(2x(1-y^2), -2x^2y) \)
$ { ( 2x(1-y^2)=0 ),( -2x^2y=0 ):} $
come soluzioni del sistema ottengo i punti del tipo \(\displaystyle (0, y) \)
Procedendo con il calcolo del determinante della matrice Hessiana segue che quest'ultimo è $0$.
Allora non mi resta che cercare i punti critici sul bordo della funzione, perché il dominio della funzione è un insieme compatto, dunque per il teorema di Weierstrass la funzione ammette minimi e massimi assoluti:
parametrizzo il bordo: $r(t)=(cos(t), sin(t)), tin[0, 2pi]$
e studio i punti critici sulla funzione composta $f(r(t))=cos^4(t)$
$f'(r(t))=-4cos^3(t)sin(t)$
$-4cos^3(t)sin(t)=0 <=> cos^3(t)=0 vv sin(t)=0$ da cui:
$cos^3(t)=0 <=> t=pi/2 vv t=(3pi)/2$
$sin(t)=0 <=> t=0 vv t=2pi$
A questo punto non mi è chiaro come trovare le coordinate dei vari punti, in particolare non capisco se devo continuare a lavorare esclusivamente sul bordo.
Considerando la parametrizzazione del bordo $r(t)$ otterrei come punti:
$(0, 1), (0, -1), (1, 0)$ (e di nuovo $(1, 0)$);
devo valutare anche i punti di $f(r(t))$? Perché in questo caso avrei punti nello spazio e non nel piano. E come concludo quali punti sono di massimo o di minimo? Sono un po' confuso anche perché questa parte mi é stata spiegata in maniera "veloce".
Grazie per un eventuale aiuto.
Risposte
"Banzai":
Buongiorno,
ho qualche difficoltà nello studio di questa funzione in due variabili:
Si consideri la funzione \(\displaystyle f(x,y)=x^2(1−y^2) \) definita su \(\displaystyle D=\left \{ (x,y):x^2+y^2≤1 \right \} \). Determinare i punti di massimo assoluto.
$x^2\le 1$ e $1-y^2\le 1$. (E sono sempre non-negativi.) Possono assumere i loro valori massimi possibili simultaneamente? Sì, nei punti $(-1,0)$ e $(1,0)$. In qualsiasi altro punto almeno uno dei due numeri nel prodotto sarà minore di 1.
Ciao banzai
Perdonami se nn ho letto i tuoi ragionamenti, ti propongo un modo di ragionare alternativo
La tua funzione è un prodotto
$x^2$ e $1-y^2$
Sarà massima quando I 2 fattori sono il più grande possibile, se cerchiamo i valori di x e y nel cerchio con centro l origine e raggio 1 allora $x^2$ sarà massimo quando x e 1 o - 1
L altro fattore sarà massimo quando y=0
Di conseguenza I punti che stiamo cercando hanno coordinate
$(+1;0)$ e $(-1;0)$
Perdonami se nn ho letto i tuoi ragionamenti, ti propongo un modo di ragionare alternativo
La tua funzione è un prodotto
$x^2$ e $1-y^2$
Sarà massima quando I 2 fattori sono il più grande possibile, se cerchiamo i valori di x e y nel cerchio con centro l origine e raggio 1 allora $x^2$ sarà massimo quando x e 1 o - 1
L altro fattore sarà massimo quando y=0
Di conseguenza I punti che stiamo cercando hanno coordinate
$(+1;0)$ e $(-1;0)$
Uffa ghira ha fatto prima di me
Grazie a entrambi per avermi aiutato.
Quello che avete proposto è un buon ragionamento, rapido e apprezzabile.
Però, se io volessi studiare una qualunque funzione a due variabili, inizialmente opterei per seguire i "passaggi" che mi sono stati insegnati, ossia calcolare il gradiente della funzione, porre le componenti a zero e risolvere il sistema, in modo da trovare i punti critici secondo Fermat, calcolare il determinante della matrice hessiana, eccetera, e se necessario studiare la funzione ristretta al bordo, cosa che ho già mostrato.
La mia domanda era più rivolta a capire come si procede una volta trovati i punti critici sul bordo. Nel post precedente ho scritto i vari punti che ho trovato, ma al più appare $(1, 0)$, quindi mancherebbe $(-1, 0)$.
Forse ho fatto qualche errore di calcolo, non saprei,...
Ho cercato documentazione su internet ma non ho trovato esempi esaustivi.
Quello che avete proposto è un buon ragionamento, rapido e apprezzabile.
Però, se io volessi studiare una qualunque funzione a due variabili, inizialmente opterei per seguire i "passaggi" che mi sono stati insegnati, ossia calcolare il gradiente della funzione, porre le componenti a zero e risolvere il sistema, in modo da trovare i punti critici secondo Fermat, calcolare il determinante della matrice hessiana, eccetera, e se necessario studiare la funzione ristretta al bordo, cosa che ho già mostrato.
La mia domanda era più rivolta a capire come si procede una volta trovati i punti critici sul bordo. Nel post precedente ho scritto i vari punti che ho trovato, ma al più appare $(1, 0)$, quindi mancherebbe $(-1, 0)$.
Forse ho fatto qualche errore di calcolo, non saprei,...
Ho cercato documentazione su internet ma non ho trovato esempi esaustivi.
Ciao Banzai
non credo che leggerò il tuo post in cerca di errori nel tuo ragionare
ti propongo invece di cercare i punti di minimo all'interno di quell'insieme senza usare alcuno dei passaggi che hai citato. Smetti di cercare regole e procedure e inizia a pensare con la tua testa, è mo0lto più facile.
non credo che leggerò il tuo post in cerca di errori nel tuo ragionare
ti propongo invece di cercare i punti di minimo all'interno di quell'insieme senza usare alcuno dei passaggi che hai citato. Smetti di cercare regole e procedure e inizia a pensare con la tua testa, è mo0lto più facile.
Il seno si annulla anche in $pi$.
Mi rendo conto che l Op ha perso interesse,
Ma mi sarebbe piaciuto espandere le. Domande.
Cosa succede ad esempio se il cerchio si ingrandisce facciamo fino a un raggio=2?
Se banzai avesse voglia di proseguire mi piacerebbe discutere con lui.
Ma mi sarebbe piaciuto espandere le. Domande.
Cosa succede ad esempio se il cerchio si ingrandisce facciamo fino a un raggio=2?
Se banzai avesse voglia di proseguire mi piacerebbe discutere con lui.
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