Punti critici della funzione

[helpatemi111]

Salve, potreste aiutarmi con questo esercizio non so come risolvere il sistema e trovare i punti.

Studiare i punti critici della funzione:

$ F(x,y) = (x-y)(1-x^2-y^2) $

non considerando i punti caratterizzanti da matrice hessiana simidefinita.

[gugo82]

Tentativi tuoi?
Posta un po' di conti.

[helpatemi111]

Allora, io prima di tutto mi sono calcolate le derivate rispetto x e y
poi ho provato a metterle a sistema ma mi esce una cosa gigante e non so come risolvere sinceramente

mi esce
$ { ( 2xy-2^2-y^2+1),(-2xy+2y^2+x^2-1):} $

[pilloeffe]

Ciao helpatemi111,

Benvenuto sul forum!

Comincerei ad osservare che la funzione proposta $z = F(x, y) = (x-y)(1-x^2-y^2) $ ha dominio $ D = \RR^2 $ e codominio $C = \RR $, risulta $F(-x, -y) = - F(x, y) $ e si annulla per $y = x $ e per $x^2 + y^2 = 1 $

"helpatemi111":prima di tutto mi sono calcolate le derivate rispetto x e y

Ne avessi indovinata una...
Mi risulta:

$(delF)/(delx) = - 3x^2 + 2xy - y^2 + 1 $

$(delF)/(dely) = x^2 - 2xy + 3y^2 - 1 $

Pertanto dovresti ottenere il sistema seguente:

$\{(-3x^2 + 2xy - y^2 + 1 = 0),(x^2 - 2xy + 3y^2 - 1 = 0):} $

[helpatemi111]

Grazie, ora ho capito

e invece il metodo migliore per risolvere un sistema di questo tipo qual' è?

ho trovato +- $ sqrt(1/2) $ e poi ?

[gugo82]

Usare gli occhi e la testa.