Punti critici - Conferma

[alex_28]

Salve a tutti, volevo proporvi un esercizio sui punti critici molto semplice svolto da me per avere una conferma sui ragionamenti effettuati =);

f(x,y) = x^2(y+1);

Dal consueto sistema Gradiente Nullo, mi viene come soluzione, (0,0) (Unico punto critico);
Valuto la 'natura' del punto critico all' interno della Matrice hessiana; Mi trovo valore nullo;
A questo punto applico il metodo del segno del 'Delta f(x,y)', che in questo caso coincide con la f(x,y) di partenza;

Imposto la disequazione x^2(y+1)>0;
Soluzioni:
x<>0 U y>-1;
Rappresento graficamente, e noto che la funzione è crescente per un intorno qualsiasi del punto (0,0) => Posso asserire che il punto critico (0,0) è di minimo relativo.

Il ragionamento effettuato è giusto? Grazie =)

[Camillo]

$f_x=2x(y+1)=0 $
$f_y=x^2=0$
Dalla seconda equazione ottieni $x=0 $ ; quindi $y $ può essere qualunque.
Quindi il luogo dei punti critici è $(0, y) ; y in RR $ quindi l'intero asse $y $.

[alex_28]

Ti ringrazio per la delucidazione =)
In generale, dunque, si ottiene una retta di punti critici, nel momento in cui, come in questo caso, in una delle due equazioni, una delle due incognite scompare del tutto, giusto? =)
ES: {Mi invento un sys. gradiente nullo all' istante}:

y^2 = 0
xy= 0

Dalla prima ottengo y=0 ; sostituita tale soluzione nella seconda ottengo come punti critico (x,0);

E' giusto il ragionamento? Grazie Mille =)

[Camillo]

Sì , non è che scompare : dalla prima equazione deduci che $y=0 $; la seconda equazione è allora verificata da qualunque valore di $x$ perchè $y=0 $ e questo fatto annulla il prodotto qualunque sia $x $.

[alex_28]

Perfetto, ti ringrazio ancora

[alex_28]

P.S. Avrei delle domande, giusto di natura esplicativa sulle forme differenziali, posso chiedere qui sotto o apro un altro topic? =) Grazie =)

[Camillo]

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