Punti Critici con Hessiano nullo
Ciao ragazzi avrei un dubbio con dei punti critici che generano un Hessiano nullo.
La mia funzione di partenza è $f(x,y)= e^((y+2x)^3)$ , come prima cosa calcolo il gradiente: $\grad$ $f(x,y)=0$ $hArr$ $\{(0 =f_x= 6(y+2x)^2 e^((y+2x)^3), hArr y+2x=0),(0=f_y=3(y+2x)^2 e^((y+2x)^3), hArr y+2x=0):}$ dal gradiente ottengo i seguenti punti critici: $(0,0);(t,-2t);(-t/2,t) :t in RR$. Il primo punto dovrebbe essere di sella, il secondo ed il terzo punto mi riconducono allo stesso risultato del primo, anzi addirittura mi riconducono alla stessa retta passante per $(0,0)$! A questo punto mi domando: ho sbagliato qualcosa oppure posso concludere dicendo che: per $t in (0, +oo)$ ho dei punti di massimo relativo, per $t in (- \infty , 0)$ ho dei punti di minimo relativo ed in $(0,0)$ ho una sella?
P.S.
Per farvi comrendere meglio il discorso della $t$ vi descrivo il grafico.
In pratica è una retta passante per il secondo ed il quarto quadrante; il primo e secondo quadrante sono completamente positivi, mentre il terzo ed il quarto risultano negativi.
La mia funzione di partenza è $f(x,y)= e^((y+2x)^3)$ , come prima cosa calcolo il gradiente: $\grad$ $f(x,y)=0$ $hArr$ $\{(0 =f_x= 6(y+2x)^2 e^((y+2x)^3), hArr y+2x=0),(0=f_y=3(y+2x)^2 e^((y+2x)^3), hArr y+2x=0):}$ dal gradiente ottengo i seguenti punti critici: $(0,0);(t,-2t);(-t/2,t) :t in RR$. Il primo punto dovrebbe essere di sella, il secondo ed il terzo punto mi riconducono allo stesso risultato del primo, anzi addirittura mi riconducono alla stessa retta passante per $(0,0)$! A questo punto mi domando: ho sbagliato qualcosa oppure posso concludere dicendo che: per $t in (0, +oo)$ ho dei punti di massimo relativo, per $t in (- \infty , 0)$ ho dei punti di minimo relativo ed in $(0,0)$ ho una sella?
P.S.
Per farvi comrendere meglio il discorso della $t$ vi descrivo il grafico.
In pratica è una retta passante per il secondo ed il quarto quadrante; il primo e secondo quadrante sono completamente positivi, mentre il terzo ed il quarto risultano negativi.
Risposte
Guarda che i punti sono tutti e soli quelli della retta $y=-2x$: i tre casi che hai scritto rappresentano sempre la stessa cosa. Bastava dire questo (senza spiegare 3 volte che hai una retta! 
) Quello che hai è una retta dove $f=1$ sempre. Ora, se $y+2x>0$ allora $(y+2x)^3>0$ e quindi $f>1$, mentre se $y+2x<0$ allora $(y+2x)^3<0$ e quindi $f<1$. Ne segue che i punti della retta non risultano né massimi né minimi.
) Quello che hai è una retta dove $f=1$ sempre. Ora, se $y+2x>0$ allora $(y+2x)^3>0$ e quindi $f>1$, mentre se $y+2x<0$ allora $(y+2x)^3<0$ e quindi $f<1$. Ne segue che i punti della retta non risultano né massimi né minimi.
Ah ecco! Avevo sbagliato il grafico 
... grazie per la risposta!
... grazie per la risposta!
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