Punti critici

[QuasiIng.Elena]

Ciao ragazzi, potreste svolgere questo esercizio e dirmi quanti punti critici avete trovato e se sono selle, massimi o minimi? Io ne ho trovati 7 di cui 4 selle e 3 massimi.
$f(x,y)=(x^2-y^2)(1-x^2)$

[Plepp]

Ciao. Provo a risolverlo io, supponendo che tu debba studiare la funzione su tutto $RR^2$.

Calcoliamo le derivate parziali prime:
\[\begin{cases}
f_x=2x(-2x^2+y^2+1)\\
f_y=2y(x^2-1)
\end{cases}
\]
Le soluzioni del sistema
\[\begin{cases}
f_x=0\\
f_y=0
\end{cases}
\]
sono:
• le intersezioni dell'asse $x$ con la curva di equazione
\[(-2x^2+y^2+1)=0\]
• le intersezione delle due rette $x=\pm 1$ con la suddetta curva;
• l'intersezione tra asse $x$ e asse $y$: l'origine.

Le prime sono i punti $A(1/\sqrt{2},0)$ e $B((-1/\sqrt{2} ,0))$.
Le seconde sono date dai punti $C(1, 1/\sqrt{2})$, $D(1, -1/\sqrt{2})$, $E(-1, 1/\sqrt{2})$, $F(-1, -1/\sqrt{2})$
Quindi anche io ne ho trovati 7.

Ora non ho tempo per classificarli perchè sto aspettando un mio amico x cenare probabilmente però, per stabilire la natura di alcuni (sicuramente almeno l'origine) dovrai applicare la definizione, in quanto ti verrà l'hessiano nullo.

Ciao

[QuasiIng.Elena]

Grazie mille!!!