Punti critici

[Nello181]

Salve! Sto studiando i punti critici di questa funzione:
$ f(x,y)=3x^2+4y^2-root(2)((x^2-y^2) ) $
I punti stazionari sono le soluzioni del sistema:
$ { ( 6x-x/root(2)((x^2-y^2) )=0 ),( 8y+y/root(2)((x^2-y^2) )=0 ):} $
Riscontro però delle difficoltà nell'individuare i punti stazionari anche se credo di aver capito come fare (o forse no )
Dalla prima equazione ottengo che $ root(2)((x^2-y^2) $ deve essere uguale a 1/6 e a -1/6 . Ho ragione oppure no? Grazie anticipatamente

[gugo82]

Occhio... La \(x\) e la \(y\) non le puoi semplificare a cuor leggero.

[Nello181]

Mmmm non capisco. Intendi che devo anche fare la posizione che $ x $ e $ y $ siano diverse? Se intendi questo, lo avevo capito ma non lo avevo scritto

[@melia]

Se $x=0$ la prima equazione è verificata indipendentemente dal valore della radice, e quindi puoi concentrare la tua attenzione sulla seconda equazione. Allo stesso modo se $y=0$ puoi concentrare l'attenzione sulla prima radice.

[Nello181]

Bene credo di aver capito! Quindi in casi come questo dove non riesco a trovare un'equazione in cui ci sia una sola delle variabili, devo porre uguale a $ 0 $ una volta la $ x $ e poi la $ y $ ?

[gugo82]

Da:
\[
\begin{cases}
6x - \frac{x}{\sqrt{x^2 - y^2}} =0\\
8y + \frac{y}{\sqrt{x^2 - y^2}} =0
\end{cases}
\]
si ricava:
\[
\begin{cases}
x\ \left( 6\sqrt{x^2-y^2} - 1\right) =0\\
y\ \left( 8\sqrt{x^2 - y^2} + 1\right) =0\; ;
\end{cases}
\]
la seconda equazione ha come soluzione solo \(y=0\) (perché il secondo fattore è positivo), dunque basta sostituire \(y=0\) nella prima per ricavare la \(x\): facendo ciò si ottiene:
\[
x\ \left( 6\ |x| - 1\right) =0
\]
da cui \(x=0\) oppure \(|x|=1/6\), ossia \(x=\pm 1/6\); dato che il punto \((0,0)\) non è accettabile come soluzione (perché in \((0,0)\) la funzione non è derivabile), le uniche soluzioni del sistema sono \((1/6,0)\) e \((-1/6,0)\).

[Nello181]

Perfetto! Grazie mille, tutto chiaro ora e scusatemi!