Provare la differenziabilità di questa funzione

anima123
Sia $g(t) : R -> R$, derivabile in $t=0$ con $g'(0) = 0$ . Provare che la funzione

$G(x,y) = g(sqrt(x^2 + y^2))$

è differenziabile in $(0,0)$

innanzitutto, mi spiegate che cavolo di forma è $G(x,y) = g(sqrt(x^2 + y^2))$ ??
sinceramente non capisco che devo fare..

Risposte
Quinzio
Hai una funzione composta:
$f(x,y) = \sqrt(x^2+y^2)$
di $g$ sai solo $g'(0)=0$
Vedi se esiste la derivata della funzione composta.....

anima123
Ho fatto le derivate parziali e vengono entrambe 1.
ora che dovrei fare?

gugo82
"anima123":
Sia $g(t) : R -> R$, derivabile in $t=0$ con $g'(0) = 0$ . Provare che la funzione

$G(x,y) = g(sqrt(x^2 + y^2))$

è differenziabile in $(0,0)$

innanzitutto, mi spiegate che cavolo di forma è $G(x,y) = g(sqrt(x^2 + y^2))$ ??

In casi come questi, si dice che \(G(x,y)\) è una funzione radiale (poiché il valore di \(G(x,y)\) dipende unicamente dalla distanza di \((x,y)\) dall'origine \((0,0)\)).

Le funzioni radiali giocano un ruolo importante in moltissimi campi dell'Analisi e della Matematica Applicata, poiché molti fenomeni fisici danno luogo a funzioni di tipo radiale (ad esempio, l'intensità del campo gravitazionale o l'intensità del campo elettrico generati da corpi puntiformi sono esprimibili mediante funzioni radiali).

Per provare che \(G(x,y)\) è differenziabile devi fare i conti come li faresti negli altri casi.
Innanzitutto devi controllare se esistono le derivate (im)parziali di \(G\) in \((0,0)\): in tal caso le derivate parziali si esprimono mediante i limiti:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{G(x,0)-G(0,0)}{x} =\lim_{x\to 0} \frac{g(|x|)-g(0)}{x} \qquad \text{e} \qquad \lim_{y\to 0} \frac{G(0,y)-G(0,0)}{y} =\lim_{y\to 0} \frac{g(|y|)-g(0)}{y}
\]
che vanno calcolati usando le restrizioni.
Se le derivate esistono, passi a verificare che la quantità \(G(x,y)-G(0,0)-G_x(0,0)\ x-G_y(0,0)\ y\) è un infinitesimo d'ordine superiore a \(\sqrt{x^2+y^2}\).

Regulus1
"gugo82":
Per provare che \( G(x,y) \) è differenziabile devi fare i conti come li faresti negli altri casi.
Innanzitutto devi controllare se esistono le derivate (im)parziali di \( G \) in \( (0,0) \): in tal caso le derivate parziali si esprimono mediante i limiti:
\[ \lim_{x\to 0} \frac{G(x,0)-G(0,0)}{x} =\lim_{x\to 0} \frac{g(|x|)-g(0)}{x} \qquad \text{e} \qquad \lim_{y\to 0} \frac{G(0,y)-G(0,0)}{y} =\lim_{y\to 0} \frac{g(|y|)-g(0)}{y} \]
che vanno calcolati usando le restrizioni.
Se le derivate esistono, passi a verificare che la quantità \( G(x,y)-G(0,0)-G_x(0,0)\ x-G_y(0,0)\ y \) è un infinitesimo d'ordine superiore a \( \sqrt{x^2+y^2} \).


Chiedo scusa se riprendo questa discussione dopo tanto tempo, ma sono alle prese con un esercizio simile. Cosa si intende per calcolare quei limiti "usando le restrizioni"? Come vanno risolti?

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