Provare disuguaglianza per induzione

[Valentino.gandolfo]

Provare che per ogni $ x in R $ e per ogni $ n in N $ si ha $ (1+x)^n>=1+nx $
$ P(0) $ : $ 1+1>=1 $
$ P(1) $ : $ 1+x=1+x $

Ipotesi:
$ n in N | n!=1 $ si ha che $ (1+x)^n>1+nx $
$ n in N $ si ha che $ (1+x)^n>=1+nx $

Tesi:
$ (1+x)(1+x)^n>1+x(n+1) $ $ n in N | n!=1 $ .1
$ (1+x)(1+x)^n>=(1+nx)(1+x) $ $ n in N $ .2

Dimostrazione:
proviamo la .1

$ (1+x)(1+x)^n>1+x(n+1) $ si ha già la tesi

proviamo la .2

$ (1+x)(1+x)^n>=(1+nx)(1+x) $ per ogni $ n in N | n!=1 $ risulta sempre vera la disuguaglianza


Secondo voi ho agito correttamente?

[ciampax]

Sicuro valga per ogni $x\in RR$? No perché ti faccio notare che se $x=-1$ verrebbe $0\ge 1$ che mi pare palesemente falso, non ti pare? Quella che vuoi dimostrare per induzione si chiama disuguaglianza di Bernoulli e vale solo per $x>-1$. Inoltre, anche il modo in cui usi il principio di induzione è errato: non devi variare la $x$ ma la $n$.
$$P(0):\ (1+x)^0=1=1+0\cdot x$$
$$P(1):\ (1+x)^1=1+x=1+1\cdot x$$
e quindi queste due sono vere. Supponiamo che sia vera per $n$, allora vogliamo provare che
$$P(n+1):\ (1+x)^{n+1}\ge 1+(n+1)x$$
Ovviamente puoi scrivere
$$(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^n\ge (1+x)(1+nx)=1+x+nx+nx^2\ge 1+(n+1)x$$
avendo usato l'ipotesi induttivae il fatto che $nx^2\ge 0$.

[Valentino.gandolfo]

Si avevo non scritto che la $ x $ aveva la condizione $ x>=0 $ (non $ x>1 $ ).
Ora riprovo come dici tu

[ciampax]

Scusa, èvenuto male: la disuguaglianza vale per $x> -1$.

[Valentino.gandolfo]

E' palese che la tesi si dimostra appena $ (1+nx)(1+x)>=1+(n+1)x $ ? Io ho usato come ipotesi induttiva n+1 : $ (1+x)(1+x)^n>=(1+nx) (1+x) $ .
Così?

[ciampax]

Tu devi dimostrarla quella cosa, non scriverla di punto in bianco. Il senso è: parto da $(1+x)^{n+1}$, riesco a fare una serie di passaggi che mi dicono che quella roba è $\ge 1+(n+1)x$? Sì, sono quelli che ti ho scritto. Quello che fai tu è scrivere in modo non proprio chiaro la condizione, ma poi? Alla fine devi arrivare a $1+(n+1)x$ e io non lo vedo in ciò che fai.

[Valentino.gandolfo]

Provare che per ogni $ x in R $ e per ogni $ n in N $ si ha $ (1+x)^n>=1+nx $
$ P(0) $ : $ 1>=1 $
$ P(1) $ : $ 1+x=1+x $

Ipotesi:
Supposta che sia vera per $ n $ , allora è vera per n+1
$ (1+x)^n>=1+nx $

Tesi:
$ (1+x)^(n+1)>1+x(n+1) $ .1

Dimostrazione:
provo la .1
$ (1+x)^(n+1)=(1+x)^n(1+x)>=(1+nx)(1+x)=1+x+nx+nx^2>=1+x(n+1) $

Adesso ci siamo? In pratica sostituisco $ (1+x)^n $ con $ (n+1) $ perché è sicuramente una quantità positiva

[ciampax]

No, mi sa che hai capito male l'ultima serie di passaggi: puoi scrivere
$$(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^n$$
per le proprietà delle potenze; poi, data l'ipotesi induttiva, quest'ultima cosa è
$$\ge (1+x)(1+nx)$$
da cui svolgendo i prodotti
$$1+x+nx+nx^2=1+(1+n)x+nx^2$$
Infine, questa cosa è maggiore di $1+(n+1)x$ in quanto $nx^2\ge 0$.