Provare che la succ. $a_n= (1+cos(pi*n)/n)^n$ non ha limite
ho pensato di vedere il comportamento della successione per gli $n$ pari e per gli $n$ dispari, ed ho verificato che il comportamento è diverso. Nel senso che man mano che gli $ n$ dispari crescono la successione
$-> 0$ almeno mi sembra
mentre per gli $n$ pari la successione cresce e :
$ ->2$ almeno mi sembra (ma non nè sono sicuro) oppure $->1$
Certo è che in sostanza si formano due sottosuccessioni che hanno una storia distinta una dall'altra e pertanto non avendo un'orizzonte comune all ' $infty$ la successione si puo' affermare che non abbia limite.
E' il ragionamento giusto?
Grazie Roby
$-> 0$ almeno mi sembra
mentre per gli $n$ pari la successione cresce e :
$ ->2$ almeno mi sembra (ma non nè sono sicuro) oppure $->1$
Certo è che in sostanza si formano due sottosuccessioni che hanno una storia distinta una dall'altra e pertanto non avendo un'orizzonte comune all ' $infty$ la successione si puo' affermare che non abbia limite.
E' il ragionamento giusto?
Grazie Roby
Risposte
Sarebbe anche giusto in linea di principio, ma i "mi sembra" ed i "non ne sono sicuro" non sono una dimostrazione... Inoltre i possibili limiti sono del tutto sballati.
Prova a formalizzare bene il ragionamento.
Prova a formalizzare bene il ragionamento.
Bene hai ragione.
Allora diciamo questo:
Per gli $n$ pari la sottosuccessione diventa:
$a_(n_2) = ((n+1)/n)^n$
mentre per gli $n$ dispari la sottossuccessione diventa:
$a_(n_1) = ((n-1)/n)^n$
Quindi è evidente come le due sottosuccessioni non abbiano un limite comune , ma due limiti distinti.
Ci possiamo cominciare ad essere?
Grazie.
Allora diciamo questo:
Per gli $n$ pari la sottosuccessione diventa:
$a_(n_2) = ((n+1)/n)^n$
mentre per gli $n$ dispari la sottossuccessione diventa:
$a_(n_1) = ((n-1)/n)^n$
Quindi è evidente come le due sottosuccessioni non abbiano un limite comune , ma due limiti distinti.
Ci possiamo cominciare ad essere?
Grazie.
Giusto per essere pignoli, sei ancora sicuro che i limiti siano 0 per n dispari, 2 per n pari?
Non sono affatto sicuro, pero' noto che per gli $n$ dispari io ho davanti un numero $<1$ che elevato ad $n$ molto grossi $->0$ e su questo credo di essere abbastanza sicuro, mentre per gli $n$ pari ho invece qualcosa lievemente $>1$ che per $n$ molto grandi dovrebbe $->$ a ......... $ +infty$ ; credo.
O no?
O no?
Ma anche no...
Il limite di $(1+1/n)^n$ e, più in generale, di $(1+x/n)^n$ (per $x \in RR$) è qualcosa che uno studente di Analisi I dovrebbe saper subito dire quanto è.
Il limite di $(1+1/n)^n$ e, più in generale, di $(1+x/n)^n$ (per $x \in RR$) è qualcosa che uno studente di Analisi I dovrebbe saper subito dire quanto è.
Hai ragione ci avevo pensato subito , anche perche' sinceramente appena ho visto la successione ho subito pensato a quel limite notevole. ( $e$) .
Poi però andando avanti mi sono perso. Va bene. Il ragionamento comunque ritieni sia giusto:
cioè per gli $ n $ pari si ha una sottosuccessione che $-> e$ e per gli $n$ dispari una sottosuccessione che $-> 0$ .
???
Poi però andando avanti mi sono perso. Va bene. Il ragionamento comunque ritieni sia giusto:
cioè per gli $ n $ pari si ha una sottosuccessione che $-> e$ e per gli $n$ dispari una sottosuccessione che $-> 0$ .
???
"ANTONELLI ":
[...] per gli $n$ dispari una sottosuccessione che $-> 0$.
Attento... Dove converge $(1-1/n)^n$?
Fai il calcolo esplicito se non ricordi.
Hai perfettamente ragione: $ 1/e$ .
Forse è meglio giocare a scopone scientifico anzichè fare i corsi di Analisi.
Ma io non mollo e credetemi anche se con fatica vorrei riuscire a combinare qualcosa di sufficiente.
Grazie della pazienza.
Forse è meglio giocare a scopone scientifico anzichè fare i corsi di Analisi.
Ma io non mollo e credetemi anche se con fatica vorrei riuscire a combinare qualcosa di sufficiente.
Grazie della pazienza.
Meglio tardi che mai... Bravo. 
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