Provare che \( k\log_a(x)=\log_b(x) \) per un unico \( b \)
Ciao! Spero, dato che la cosa mi sembra un quesito piuttosto standard, di non aver creato duplicati (ero inoltre indeciso se postare sulla sezione per le superiori, però bo).
Sia \( a \) reale, \( 1\neq a>0 \), \( k\in\mathbb{R}\setminus\{0\} \). Definita \( \phi:x\mapsto k\log_a(x) \), devo provare che esiste un unico \( b\in\mathbb{R}_{>0} \) diverso da \( 1 \) che \( \phi(x)=\log_b(x) \). Mi chiedo se quanto segue possa considerarsi corretto.
È equivalente provare che \( \phi^{-1}=\exp_b \) per \( b \) reale positivo diverso da \( 1 \), e sarà questo che farò. Definisco \( \psi:x\mapsto\phi^{-1}(x)=\exp_a(x/k) \); allora \( \psi \) è monotona (\( \phi^{-1} \) lo è) e, per \( x_1,x_2 \) reali
\[
\begin{split}
\psi(x_1+x_2)&=\exp_a((x_1+x_2)/k)\\
&=\exp_a(x_1/k+x_2/k)\\
&=\exp_a(x_1/k)\exp_a(x_2/k)\\
&=\psi(x_1)\psi(x_2)
\end{split}
\] inoltre è \( \psi(1)=\exp_a(1/k) \), con \( \psi(1)>0 \) e diverso da \( 1 \), ché \( a\neq 1 \). Ho allora provato che \( \phi^{-1}=\psi=\exp_{\psi(1)} \), equivalente alle tesi. L'unicità di \( b \) è evidente tenuto conto dell'unicità della funzione esponenziale. \( \square \)
Ci sono inoltre modi più semplici per rispondere a questa domanda?
Sia \( a \) reale, \( 1\neq a>0 \), \( k\in\mathbb{R}\setminus\{0\} \). Definita \( \phi:x\mapsto k\log_a(x) \), devo provare che esiste un unico \( b\in\mathbb{R}_{>0} \) diverso da \( 1 \) che \( \phi(x)=\log_b(x) \). Mi chiedo se quanto segue possa considerarsi corretto.
È equivalente provare che \( \phi^{-1}=\exp_b \) per \( b \) reale positivo diverso da \( 1 \), e sarà questo che farò. Definisco \( \psi:x\mapsto\phi^{-1}(x)=\exp_a(x/k) \); allora \( \psi \) è monotona (\( \phi^{-1} \) lo è) e, per \( x_1,x_2 \) reali
\[
\begin{split}
\psi(x_1+x_2)&=\exp_a((x_1+x_2)/k)\\
&=\exp_a(x_1/k+x_2/k)\\
&=\exp_a(x_1/k)\exp_a(x_2/k)\\
&=\psi(x_1)\psi(x_2)
\end{split}
\] inoltre è \( \psi(1)=\exp_a(1/k) \), con \( \psi(1)>0 \) e diverso da \( 1 \), ché \( a\neq 1 \). Ho allora provato che \( \phi^{-1}=\psi=\exp_{\psi(1)} \), equivalente alle tesi. L'unicità di \( b \) è evidente tenuto conto dell'unicità della funzione esponenziale. \( \square \)
Ci sono inoltre modi più semplici per rispondere a questa domanda?
Risposte
Beh, basta usare la formula del cambiamento di base per i logaritmi, no?
Se $k=1/(log_a b)$ allora $phi(x) = log_b x$ per la suddetta formula.
Se $k=1/(log_a b)$ allora $phi(x) = log_b x$ per la suddetta formula.
Grazie per la risposta @gugo82. Ci ho pensato anch'io in effetti, di usare in qualche modo la formula del cambiamento di base, però non capisco perché quello che hai postato tu indirizza la domanda. Intendo dire: se \( \phi=\log_b \) per qualche \( b \) allora sì, un \( k \) che \( \phi=k\log_a \) per una qualsiasi base \( a \) esiste (i.e. quello che hai indicato tu); non mi è però chiaro in che modo ciò dimostra che, per \( k \) e \( a \) fissati, un (unico) \( b \) che \( k\log_a=\log_b \) esiste.
Intendi che se \( k\in\mathbb{R} \) non nullo, allora esiste \( \log_a(b) \), per un unico \( b \), che \( k^{-1}=\log_a(b) \)? (Di fatto \( \log_a \) è bigettiva quindi potrebbe essere in 'sto caso) però non ne sono sicuro...
Intendi che se \( k\in\mathbb{R} \) non nullo, allora esiste \( \log_a(b) \), per un unico \( b \), che \( k^{-1}=\log_a(b) \)? (Di fatto \( \log_a \) è bigettiva quindi potrebbe essere in 'sto caso) però non ne sono sicuro...
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