Provare che è differenziabile in $RR^2$

[^Tipper^1]

Ciao, devo provare che è differenziabile in $RR^2$

$f(x,y)=e^(3x+y)-2x-2y$

In teoria saprei provarlo se mi chiedesse di verificare che è differenziabile in un punto, ma in $RR^2$?

[abral]

Puoi derivare la funzione e verificare che le due derivate parziali sono continue in tutto $RR^2$.
Se si verifica questo, la funzione è differenziabile.

[^Tipper^1]

$f_x(x,y)=3e^(3x+y)-2$

$f_y(x,y)=e^(3x+y)-2$

Posso dire che le derivate parziali sono continue in $RR^2$ perché composizioni di funzioni continue?

[Antimius]

Esattamente. In realtà puoi dire anche che è $C^{\infty}$ visto che l'esponenziale e i polinomi lo sono.

[^Tipper^1]

Grazie.

In quest'altro esercizio mi si chiede di verificare se la funzione $F(x,y)=3x^2y+|y^2-x^2|$ è differenziabile in $(0,0)$.

Va bene questo svolgimento?

$Lim_(rho->0^+)(3rho^3sin\varthetacos^2\vartheta+|rho^2sin^2\vartheta-rho^2cos^2\vartheta|)/(rho)= Lim_(rho->0^+)(3rho^3sin\varthetacos^2\vartheta+rho^2|sin^2\vartheta-cos^2\vartheta|)/(rho)= 3rho^2sin\varthetacos^2\vartheta+rho|sin^2\vartheta-cos^2\vartheta|=0$ perché:

$0<=|3rho^2sin\varthetacos^2\vartheta|<=rho->0$

$0<=|rho(sin^2\vartheta-cos^2\vartheta)|<=rho->0$

[Sk_Anonymous]

Se non sbaglio hai verificato che vale la definizione di differenziabilità nell'origine.

[Antimius]

Se le derivate parziali in $(0,0)$ sono nulle, quel che hai fatto è coretto.