Provare algebricamente la suriettività dell'esponenziale

[marco2132k]

Ciao e buon anno!

Sto (più o meno) cercando di provare che la funzione esponenziale è suriettiva attraverso dei risultati sui sottogruppi moltiplicativi di \( \mathbb{R}_{>0} \).

Premetto i seguenti:
Lemma (1): Sia \( H \) un sottogruppo moltiplicativo dei reali. Se l'intersezione di \( H \) con l'intervallo aperto \( \left]0,+\infty\right[ \) non ammette minimo, allora \( H \) è denso in \( \mathbb{R}_{>0} \).

Lemma (2): Sia \( X \) un intervallo reale, \( f\colon X\to\mathbb{R} \) monotòna. Allora, dato in intervallo \( I\subset\mathbb{R} \), è \( I\subset f(X) \) se e solo se \( f(X)\cap I \) è denso in \( I \).
(Devo ammettere che mi è più chiaro come dimostrare questo fatto, che farmene un'intuizione geometrica).

Veniamo quindi a:
Teorema: la funzione esponenziale \( \exp_a \), per \( a>0 \), è suriettiva su \( \mathbb{R}_{>0} \).
Dimostrazione: Mi sembra evidente che la sua immagine sia un sottogruppo. Dico che l'intersezione tra l'immagine \( \exp\left(\mathbb{R}\right) \) e l'intervallo \( \left]1,+\infty\right[ \) non ha minimo. Infatti essa è formata da tutti gli \( a^x \) maggiori di \( 1 \), ed è possibile scrivere \( a^x=\sqrt{a^x}\sqrt{a^x} \), con \( 1/\sqrt{a^x}<\sqrt{a^x} \), da cui \( \left(a^{x}\right)^{-1}0} \) è l'insieme dei reali positivi stesso. \( \square \)

Ho due domande:
1) L'ho scritto un po' velocemente, e sarà quindi un po' incasinato, ma può andare?
2 OT?) Che significato si cela dietro il teorema (2)?

EDIT: Ho dimenticato di precisare che per \( a^x \), con \( a \) fissato, intendo ovviamente \( \exp_a{x} \).

[dissonance]

Vabbé, ma qual è la definizione di \(\exp\)? Se non lo specifichi la domanda non ha senso.

[marco2132k]

Vero.. Definisco \( \exp_a(x) \) dai reali in sé, come l'elemento \( \xi \) separatore della della coppia \( \left(U_x,V_x\right) \), dove \( U_x=\left\{ a^p:\text{$ p\in\mathbb{Q} $ e $ p\leqq x $}\right\} \) e \( V_x=\left\{ a^q:\text{$ q\in\mathbb{Q} $ e $ x\leqq q $}\right\} \).

In ogni caso, una funzione \( \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) che

1) Sia monotona;
2) \( f(x+y)=f(x)f(x) \) per \( x \) e \( y \) reali;
3) \( f(x)=a \), per \( a>0 \) fissato.
[/list:u:2ws01w2f] è univocamente determinata da \( a \): si ricava che è proprio \( x\mapsto\exp_a(x)=\xi \).

(Questa è la def che ho in mente io).

Potrei provarne la suriettività senza parlare di gruppi, però l'esercizio li richiede esplicitamente.

[dissonance]

Ok, adesso si che l'esercizio ha senso, e mi piace anche.