Prova itinere matematica esercizio 1
Prova itinere matematica esercizio 1 chiedo cortesemente di svolgere il primo esercizio individuando quale delle risposte è esatta dato che non sono convinto della soluzione data, grazie.
Risposte
Ricordiamo che un funzione è limitata in un certo intervallo se lo è sia inferiormente che superiormente in quel intervallo.
Prima di dare una risposta, iniziamo a guardare la funzione.
La funzione
Nel II quadrante si sarebbe avvicinata a zero man mano che x tende all'infinito negativo. In pratica
Siccome l'esponente di
Di per sé, dunque, la funzione
è limitata inferiormente, ma non superiormente in tutto R, perché va all'infinito per x tendente a - infinito.
Tuttavia se consideriamo un intervallo del tipo:
con M grande a piacere, in questo intervallo la funzione è limitata superiormente. Nota che M può anche non appartenere all'intervallo.
Invece la funzione:
è analoga alla funzione:
anch'essa ribaltata di 180° rispetto all'asse delle y.
La funzione
Se la guardiamo solo nel I quadrante, essa si avvicinerà all'asse delle ordinate mentre x tende a zero. Dunque non ha limite superiore.
Se invece x cresce allora tenderà anch'essa a zero, dunque sarà limitata inferiormente.
Per valori negativi, il grafico si ribalta di 180° rispetto alla bisettrice II-IV quadrante, per cui il discorso è analogo.
Poiché stiamo studiando la funzione:
ribaltiamo di 180° i due rami appena disegnati, rispetto all'asse delle ordinate.
Ora, le due curve si incrociano anche nel punto
che è irrilevante, qui.
Quello che importa ai fini del risultato è questo:
L'esercizio propone tre intervalli e chiede se uno di questi calzi affinché la funzione sia limitata in uno di questi oppure vi sia una quarta risposta non specificata. La quarta opzione, dunque, permetterebbe, eventualmente, di stabilire se esiste un quarto intervallo non specificato affinché la funzione sia limitata; oppure non esiste mai tale intervallo.
Prima di dare una risposta, iniziamo a guardare la funzione.
[math]f(x)=\begin{cases}e^{-x}\\-\frac{1}{x}\end{cases}[/math]
La funzione
[math]e^{-x}[/math]
è una funzione esponenziale. Se fosse stata [math]e^{x}[/math]
la funzione sarebbe stata sempre positiva e sempre crescente nel I quadrante, tendendo a all'infinito positivo al crescere di x.Nel II quadrante si sarebbe avvicinata a zero man mano che x tende all'infinito negativo. In pratica
[math]y=0[/math]
è un limite inferiore della funzione [math]e^{-x}[/math]
.Siccome l'esponente di
[math]e[/math]
è negativo, la funzione si ribalta di 180° rispetto all'asse delle ordinate, mantenendosi ovviamente positiva e quindi limitata inferiormente.Di per sé, dunque, la funzione
[math]y=e^{-x}[/math]
è limitata inferiormente, ma non superiormente in tutto R, perché va all'infinito per x tendente a - infinito.
Tuttavia se consideriamo un intervallo del tipo:
[math](-M, + \infty)[/math]
con M grande a piacere, in questo intervallo la funzione è limitata superiormente. Nota che M può anche non appartenere all'intervallo.
Invece la funzione:
[math]y=-\frac{1}{x}[/math]
è analoga alla funzione:
[math]y=\frac{1}{x}[/math]
anch'essa ribaltata di 180° rispetto all'asse delle y.
La funzione
[math]y=\frac{1}{x}[/math]
è definita in tutto R tranne laddove si annulla il denominatore, che avviene quando x=0.Se la guardiamo solo nel I quadrante, essa si avvicinerà all'asse delle ordinate mentre x tende a zero. Dunque non ha limite superiore.
Se invece x cresce allora tenderà anch'essa a zero, dunque sarà limitata inferiormente.
Per valori negativi, il grafico si ribalta di 180° rispetto alla bisettrice II-IV quadrante, per cui il discorso è analogo.
Poiché stiamo studiando la funzione:
[math]y=-\frac{1}{x}[/math]
ribaltiamo di 180° i due rami appena disegnati, rispetto all'asse delle ordinate.
Ora, le due curve si incrociano anche nel punto
[math]e^{-x}=-\frac{1}{x}[/math]
che è irrilevante, qui.
Quello che importa ai fini del risultato è questo:
a) - nel I quadrante una funzioni è limitata dall'asse delle ascisse e da x=0 e l'altra non esiste;
b) - nel II quadrante una è limitata, l'altra no;
c) - nel III quadrante le funzioni non esistono,
d) - nel IV quadrante una funzione è limitata da un M positivo ma piccolo a piacere e dall'asse delle ascisse;
L'esercizio propone tre intervalli e chiede se uno di questi calzi affinché la funzione sia limitata in uno di questi oppure vi sia una quarta risposta non specificata. La quarta opzione, dunque, permetterebbe, eventualmente, di stabilire se esiste un quarto intervallo non specificato affinché la funzione sia limitata; oppure non esiste mai tale intervallo.
Grazie, ma il problema chiede se è limitata nel dominio e non nel condominio. Per me la funzione di A, B e C esistono in ogni x. Ovvero il dominio è tutto R. Quindi il loro dominio non è limitato. La risposta corretta per me è la D
Prego confermare o meno il mio ragionamento, grazie.
Prego confermare o meno il mio ragionamento, grazie.
Non essendoci calcoli e fondandosi solo sul ragionamento, non posso sapere cosa non ti convinceva. Sorgono delle incertezze, quando si leggono domande secche come quella che hai chiesto in apertura. Questo per specificare che sarebbe meglio sempre buttare giù due righe dove si espone il tipo ragionamento o i punti dove possono sorgere dubbi.
Quindi ho preferito scrivere ciò che ho scritto, ossia una traccia sulla quale confrontare i 3 intervalli proposti in A, B e C e vedere se è possibile tracciare due rette y=costante in modo da contenere la funzione. Se queste costanti esistono è limitata, sennò no.
Mi spiace se hai male interpretato ciò che ho scritto, come io, evidentemente, ho male interpretato i motivi dei tuoi dubbi.
Però, dire
è errato. E' vero che in quegli intervalli la funzione è sempre definita comunque preso x. Tuttavia la domanda è:
Quindi il ragionamento che ho quotato è errato. Non è che siccome il dominio è tutto R di conseguenza la funzione su quel dominio è illimitata.
Prendiamo una funzione del tipo:
[math]f(x): \begin{cases} e^{-x} \quad x \geq 0\\e^x \quad x
Quindi ho preferito scrivere ciò che ho scritto, ossia una traccia sulla quale confrontare i 3 intervalli proposti in A, B e C e vedere se è possibile tracciare due rette y=costante in modo da contenere la funzione. Se queste costanti esistono è limitata, sennò no.
Mi spiace se hai male interpretato ciò che ho scritto, come io, evidentemente, ho male interpretato i motivi dei tuoi dubbi.
Però, dire
esistono in ogni x. Ovvero il dominio è tutto R. Quindi il loro dominio non è limitato.
è errato. E' vero che in quegli intervalli la funzione è sempre definita comunque preso x. Tuttavia la domanda è:
Quale delle seguenti funzioni è limitata sul suo dominio?
Quindi il ragionamento che ho quotato è errato. Non è che siccome il dominio è tutto R di conseguenza la funzione su quel dominio è illimitata.
Prendiamo una funzione del tipo:
[math]f(x): \begin{cases} e^{-x} \quad x \geq 0\\e^x \quad x
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo