Prova con la definizione che $\lim_{x\to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

[lucabro1]

La definizione in questione è la seguente:

$\forall\epsilon>0 \exists N\in\mathbb(R):\forall x \in dom(\frac{\sin x}{x}), x>N \Rightarrow |\frac{\sin x}{x}|<\epsilon$

Ora devo quindi trovare un N in funzione di k in modo tale che restringendo a piacere l'intervallo [-k,k] riesco sempre a trovare un N tale per cui per x>N la funzione cade all'interno dell'intervallo [-k,k], quindi ho impostato due disequazioni in questo modo:

$-\epsilon < \frac{\sin x}{x} < \epsilon$

solo che non riesco a capire come trovare x... ne se è effettivamente possibile, cioè se lo devo spiegare a parole il limite è praticamente ovvio, ma non so come formalizzare la dimostrazione.

[Rigel1]

Se scegli, ad esempio, \(N = 1/\epsilon\), vedi subito che
\[
\left|\frac{\sin x}{x}\right| \leq \frac{1}{|x|} < \epsilon
\qquad\forall x > N.
\]

[lucabro1]

Giusto! Ottimo, ti rigrazio!

[lucabro1]

Tanto per vedere se ho capito bene e non aprire altri thread:

avendo il limite $\lim_{x\to+\infty} x\arctan x = +\infty$, per dimostrarlo si può procedere in questo modo:

definizione $\forall M>0 \exists N\in\mathbb{R} : \forall x \in dom(f), x>N \Rightarrow f(x)>M$

quindi: $x>N \Rightarrow x \arctan x>M$

visto che $-1<\arctan x<1 \forall x \in \mathbb{R}$ e $\arctan x> -1 \forall x \in \mathbb{R}$

allora $x \arctan x>M$

poiche $x \arctan x> -x$ (moltiplicato per $x>0$ a destra e sinistra) e $x \arctan x>M$

allora $M> -x$

quindi $-x -M$

$N=-M$