Prototipo di funzione holderiana

[Plepp]

Buongiorno ragazzi,
stavo tentando di dimostrare che $f(x):=|x|^\gamma$ è $\gamma$-holderiana se $\gamma\in(0,1)$.

La mia Prof ci ha fornito una dimostrazione molto semplice e carina, ma prima di leggerla ho provato a ragionar da solo, e ne è uscito questo: ho pesato di dimostrare che
\[\varphi(t):=\dfrac{|1-|t|^\gamma|}{|1-t|^\gamma}\]
è limitata, e l'ho provato calcolando due limiti, quello per $|t|\to + \infty$ e quello per $t\to 1$; i limiti sono entrambi finiti, ed essendo $\phi$ continua altrove, deduco che $\phi$ è limitata, cioè
\[|1-|t|^\gamma|\le C|1-t|^\gamma\]
con $C$ costante positiva. Dopodiché, prendendo $t=y/x$ ($x,y\in RR$, $x\ne 0$...) ottengo
\[\left|1-\left|\dfrac{y}{x}\right|^\gamma\right|\le C\left|1-\dfrac{y}{x}\right|^\gamma\]
da cui
\[||x|^\gamma|\left|1-\left|\dfrac{y}{x}\right|^\gamma\right|= ||x|^\gamma-|y|^\gamma|\le C||x|^\gamma|\left|1-\dfrac{y}{x}\right|^\gamma=C|x|^\gamma\left|1-\dfrac{y}{x}\right|^\gamma=C|x(1-y/x)|^\gamma=C|x-y|^\gamma\]
Mi sembra corretto, ma "mi puzza" un po' l'ultimo passaggio, in cui moltiplico per "$||x|^\gamma|$" ambo i membri della disuguaglianza ho come la sensazione di aver sbagliato qualcosa che ne dite?

Se è corretta, questa dimostrazione è più rapida di quella proposta dalla prof, ma non permette di determinare esplicitamente la costante di Holder (mi pare); al massimo si può dire che $C\ge 1$, prendendo $x=0$ e $y$ qualunque...suggerimenti? (a parte fare uno studio più approfondito di $\phi$, ché altrimenti tanto vale tenere in considerazione la dim della prof )

[Plepp]

Up

[gugo82]

Tutto giusto, "a occhio".

In fin dei conti, stai usando l'omogeneità del quoziente:
\[
\frac{|x^\gamma -y^\gamma|}{|x-y|^\gamma}
\]
nella regione del piano definita dalle limitazioni \(y>x> 0\), quindi non vedo cosa ci possa essere di strano in quel passaggio.

Volendo scrivere la cosa un po' meglio farei così.

Vorrei dimostrare che vale una disuguaglianza del tipo:
\[
|x^\gamma -y^\gamma| \leq C\ |x-y|^\gamma
\]
con \(C>0\) indipendente da \(x\) ed \(y\).

Chiaramente, la simmetria della disuguaglianza importa che basta considerare le coppie di numeri reali \(x,y\) tali che \(y\geq x\geq 0\); inoltre, è evidente che se \(x=0\) o se \(y=x\) la disuguaglianza è certamente vera (con uguaglianza!), perciò mi basta restringermi ulteriormente alle coppie tali che \(y>x>0\).

Ora, nell'ipotesi \(y>x\), la disuguaglianza da provare è equivalente a:
\[
\frac{|x^\gamma -y^\gamma|}{|x-y|^\gamma} \leq C\; ;
\]
d'altra parte, nell'ipotesi \(x>0\) è possibile dividere numeratore e denominatore del primo membro per \(x^\gamma\) ottenendo la disuguaglianza equivalente:
\[
\frac{\left| 1 - \left(\frac{y}{x}\right)^\gamma \right|}{\left| 1-\frac{y}{x}\right|^\gamma} \leq C\; .
\]
Dato che per \(y>x>0\) il rapporto \(t=y/x\) prende ogni valore in \(]1,\infty[\), provare la disuguaglianza precedente equivale a dimostrare che la funzione ausiliaria \(\phi :]1,\infty[\to [0,\infty[\) definita ponendo:
\[
\phi (t) := \frac{\left| 1 - t^\gamma \right|}{| 1 - t |^\gamma} = \frac{t^\gamma -1}{(t-1)^\gamma}
\]
è limitata dall'alto in \(]1,\infty[\). Poiché \(\phi in C(]1,\infty[)\) e:
\[
\lim_{t\to 1} \phi (t) = 0 \quad \text{e}\quad \lim_{t\to \infty} \phi (t) = 1 \; ,
\]
la \(\phi \) è effettivamente limitata dall'alto e ciò conclude la dimostrazione.

Per determinare esplicitamente la migliore costante di Hölder, basta determinare l'estremo superiore di \(\phi\).
Dato che \(\phi \in C^1(]1,\infty[)\) si ha:
\[
\begin{split}
\phi^\prime (t) &= \gamma\ \frac{t^{\gamma -1} (t-1)^\gamma - (t^\gamma -1) (t-1)^{\gamma -1}}{(t-1)^{2\gamma}}\\
&= \gamma\ (t-1)^{\gamma -1} \frac{t^{\gamma -1} (t-1) - (t^\gamma -1)}{(t-1)^{2\gamma}}\\
&= \gamma\ \frac{t^\gamma - t^{\gamma -1} - t^\gamma +1}{(t-1)^{\gamma +1}}\\
&= \gamma\ \frac{1 - t^{\gamma -1}}{(t-1)^{\gamma +1}}\\
&= \gamma\ \frac{t^{1-\gamma} - 1}{t^{1-\gamma}\ (t-1)^{\gamma +1}}
\end{split}
\]
e quindi \(\phi^\prime (t)>0\) in \(]1,\infty[\) (perché \(0<\gamma <1\)); pertanto, \(\phi\) è strettamente crescente in \(]1,\infty[\) e si ha:
\[
\sup_{]1,\infty[} \phi = 1\; .
\]
Conseguentemente, la migliore costante possibile nella disuguaglianza \(\phi(t)\leq C\) è \(C=1\); da ciò segue che \(C=1\) è anche la migliore costante possibile nella disuguaglianza di hölderinità dalla quale sono partito.
Inoltre, il fatto che \(\phi (t)

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[Plepp]

Ti ringrazio Gugo, chiarissimo come al solito

Che babbeo, mi sono portato dietro il valore assoluto...