Proprietà triangolare estesa agli integrali indefiniti

[Newton_1372]

C'è un passaggio di una dimostrazione del mio prof che non mi è del tutto chiara. si tratta di dimostrare questo teorema

$\int |f(x)|dx\geq |\int f(x) dx|$.

Si parte dal constatare che

$-|f(x)|\leq f(x)\leq |f(x)$

integrando


$-\int|f(x)|dx\leq \int f(x)dx \leq \int |f(x)| dx$

da questo dovrei giungere alla tesi...'è un ragionamento che ha a che fare con la distanza dall'origine ...non riesco però a capire perchè da ciò segue che $|\int f(x) dx|<\int |f(x)| dx$...

grazie

[Gi81]

Segue dal fatto che $|a|<= b<=> -b<=a<=b$

Nel nostro caso $a= |int f(x) dx|$ e $b=int |f(x)|dx$

[Newton_1372]

non capisco....per poter giungere a dire quello che voglio dato il ragionamento scritto nel mio post, dovrei dimostrare che
$|\int f(x)dx|<\int f(x)dx$
che tra l'altro non mi sembra poi così vero, visto che l'integrale può benissimo essere negativo

[dissonance]

Ma quelli non sono assolutamente integrali indefiniti!!! Il professore non scrive il dominio di integrazione, ma lo lascia sottointeso. Che senso può avere una disuguaglianza tra integrali indefiniti, che esistono solo a meno di costanti? (Quanto è fuorviante questo simbolo di integrale "indefinito", mi chiedo cosa si stia aspettando ad ometterlo per sempre dal corsi superiori e universitari).

[gugo82]

Concordo con dissonance: quella non è affatto una disuguaglianza tra integrali indefiniti, ma si sta solo sottointendendo l'insieme d'integrazione (cosa che dovrebbe comunque essere chiara dal contesto della dimostrazione).

Inoltre, noto che la disuguaglianza corretta è:
\[
\left| \int_a^b f(x)\ \text{d} x\right| \leq \left| \int_a^b |f(x)|\ \text{d} x\right|
\]
se non si hanno informazioni sulla posizione reciproca di \(a\) e \(b\).