Proprietà successione monotona

[5mrkv]

Data \(a_{n}\) una successione monotona in \(\mathbb{R}\) con limite \(l \in \mathbb{R}\) ho che
\[
\forall \epsilon >0\exists \overline{n}\in \mathbb{N}:|a_{n}-l|<\epsilon \forall n,n>\overline{n}
\]
Se da "\(\forall \epsilon >0\) vale definitivamente \(a_{n} segue che* \(a_{n}\leq l\) definitivamente allora \(...Vorrei mostrare che è anche l'estremo superiore dei punti della successione. Sia \(\lambda\in \mathbb{R}\) una altro maggiorante e tale che \(\lambda\neq l\). Allora se per assurdo \(\lambda \[
\begin{split}
\forall \epsilon \exists \overline{n}\in \mathbb{N}:\lambda\overline{n} \mbox{ dal limite }\\
x_{n}\leq \lambda \forall n \in \mathbb{N}\Rightarrow x_{n}<\lambda+\epsilon \forall n \in \mathbb{N}\forall \epsilon>0 \mbox{ perché è un maggiorante }
\end{split}
\]
ritroviamo la definizione di limite per \(x_{n}\rightarrow \lambda\) e ciò è assurdo perché il limite è unico. Se è corretto come si mostra per bene questo [*] ?

[DajeForte]

Non entro troppo nel merito di quello che hai scritto perchè mi viene un pò laborioso comprenderlo, ma ad una prima occhiata sembra sia giusto.

Comunque se consideri un punto $x in RR$, se esite un punto della sucessione strettamente più grande di $x

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[5mrkv]

Ok, grazie. Volevo solo rendere per esercizio il ragionamento intuitivo in modo formale.