Proprietà prodotto cartesiano e disuguaglianze triangolari con i numeri complessi

[Francio991]

Buonasera a tutti, ho appena cominciato il corso di Analisi e sto cercando dei chiarimenti su alcuni punti. Il mio primo dubbio riguarda la seconda disuguaglianza triangolare $||z_1| - |z_2||<= |z_1 +- z_2| $ con $z_1, z_2 in C$ . Con la prima disuguaglianza triangolare non ho avuto problemi ma questa (forse complice il doppio modulo) non riesco a dimostrarla. Volevo inoltre capire se, come nel caso dei reali, $|z_1| < k iff -k< z_1 Inoltre, appurato che nei Complessi $|z|^2 != z^2$ vale la relazione $||z||^2 =|z|^2$ ?


Per quanto riguarda il mio secondo dubbio, il problema è rappresentato dalle proprietà del prodotto cartesiano tra due insiemi. Il testo che sto usando dice che vale la proprietà distributiva rispetto all'unione, intersezione e differenza (es: $ (AxB) uu C = (AxC) uu (BxC)$ e così via). Fin ora ero riuscito a dimostrare altre leggi (come De Morgan ad esempio) provando l'inclusione del membro di sinistra in quello di destra e viceversa ma con queste proprietà del prodotto cartesiano non so proprio come procedere. Potreste aiutarmi a dimostrarne una delle tre (e provo a fare le altre) o a capire come si fa?

Grazie mille in anticipo

[gugo82]

"Francio99": Il mio primo dubbio riguarda la seconda disuguaglianza triangolare $||z_1| - |z_2||<= |z_1| +- |z_2| $ con $z_1, z_2 in C$ . Con la prima disuguaglianza triangolare non ho avuto problemi ma questa (forse complice il doppio modulo) non riesco a dimostrarla. Volevo inoltre capire se, come nel caso dei reali, $|z_1| < k iff -k< z_1
Innanzitutto, la disuguaglianza corretta è $| |z_1| - |z_2| | <= |z_1 - z_2|$.

Secondo: visto che $CC$ non è dotato di un ordine “sensato” (cioè compatibile con le operazioni), disuguaglianze tipo $-k

"Francio99": Inoltre, appurato che nei Complessi $|z|^2 != z^2$ vale la relazione $||z||^2 =|z|^2$ ?

Sì.
Dimostralo.

"Francio99":
Per quanto riguarda il mio secondo dubbio, il problema è rappresentato dalle proprietà del prodotto cartesiano tra due insiemi. Il testo che sto usando dice che vale la proprietà distributiva rispetto all'unione, intersezione e differenza (es: $ (AxB) uu C = (AxC) uu (BxC)$ e così via). Fin ora ero riuscito a dimostrare altre leggi (come De Morgan ad esempio) provando l'inclusione del membro di sinistra in quello di destra e viceversa ma con queste proprietà del prodotto cartesiano non so proprio come procedere. Potreste aiutarmi a dimostrarne una delle tre (e provo a fare le altre) o a capire come si fa?

A parte il fatto che $xx$ denota il prodotto cartesiano di due insiemi (e non il prodotto vettoriale di due vettori), puoi ragionare così:
\[
(x,c) \in (A\cup B)\times C \iff x \in A\cup B \ \land \ c \in C \iff \cdots
\]

[Francio991]

Ciao! Intanto grazie per la risposta

Hai ragione per quanto riguarda il titolo (intendevo prodotto cartesiano) e la disuguaglianza (ho mischiato la prima e la seconda copiando ahah), ho modificato adesso.

Andando con ordine, ho provato a dimostrare intanto che $||z||^2=|z|^2$ in questo modo. Se $z$ è un numero complesso, il suo modulo è sicuramente un reale. Lo chiamo con N per semplicità, quindi $||z||^2 =|N|^2 =N^2 = |Z|^2$. È corretto?



Passando adesso alla disuguaglianza ho proceduto così ma non riesco ancora a raggiungere l'obiettivo.
$||z_1| - |z_2|| <= |z_1 - z_2| $ posto $ z_1 = a + bi , z_2=x+yi$ la disuguaglianza diventa $||z_1| - |z_2||<= sqrt((a-x)^2 + (b-y)^2) $. Adesso, poiché quantità positive posso elevare al quadrato ottenendo (anche grazie alla relazione che ho provato a dimostrare precedentemente) $(|z_1|-|z_2|)^2 <= sqrt((a-x)^2 + (b-y)^2) $ . Svolgo i moduli al primo membro: $(sqrt(a^2+b^2)- sqrt(x^2 + y^2))^2 <= (a-x)^2 + (b-y)^2$ ovvero $a^2 +b^2 + x^2 + y^2 - 2sqrt(a^2+b^2)sqrt(x^2 + y^2) <= a^2 +x^2 + b^2 + y^2 - 2ax - 2by$ semplificando e dividendo per $-2$ $sqrt(a^2+b^2)sqrt(x^2 + y^2) >= ax - by$ e a questo punto non ho più idea di come procedere. Ho provato ad elevare nuovamente al quadrato ma senza risultati; può essere che debba usare la proprietà $|z|^2 = z* \bar z$ ?


Infine per quanto riguarda la proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto all'unione ho provato, seguendo il tuo suggerimento, così: sia $(x,c) in (AuuB) xx C => x in AuuB , c in C => x in A vv x in B$ quindi ho osservato che se $x in A => x in (AxxC) => x in (AxxC) uu (BxxC)$. Le stesse considerazioni valgono se $x in B$ ed ovviamente poiché $ c in C => c in (AxxC) uu (BxxC)$ dunque se $(x,c) in (AuuB) xx C => (x,c) in (AxxC) uu (BxxC)$ che dovrebbe essere ciò che volevo dimostrare. Il ragionamento è corretto? Inoltre, dovrei dimostrare anche l'inclusione inversa (perché non saprei come fare onestamente ahahah)?

Spero di essere stato il più chiaro possibile, inoltre mi scuso in anticipo per eventuali errori. Ti sarei grato se tu potessi aiutarmi con queste mie ulteriori perplessità, buon fine settimana