Proprietà o-piccoli
Ciao ragazzi 
Sto preparando l'esame di Analisi 1 e in particolare sto trattando le proprietà degli o-piccoli. La proprietà che devo dimostrare è che se $ f = o(x^n) $ allora $ f = o(x^m) $ per ogni $ m <= n $. Ho provato a buttare giù qualche limite ma in verità non so neanche da dove iniziare. Mi aiutate per favore? Grazie
Sto preparando l'esame di Analisi 1 e in particolare sto trattando le proprietà degli o-piccoli. La proprietà che devo dimostrare è che se $ f = o(x^n) $ allora $ f = o(x^m) $ per ogni $ m <= n $. Ho provato a buttare giù qualche limite ma in verità non so neanche da dove iniziare. Mi aiutate per favore? Grazie
Risposte
Ragazzi, se riusciste ad aiutarmi ve ne sarei molto grato perchè è una cosa che mi intressa particolarmente
Ciao Ticio
La dimostrazione non è difficile, cosa significa che $f(x) = o(x^n)$? Quale limite hai provato a fare?
La dimostrazione non è difficile, cosa significa che $f(x) = o(x^n)$? Quale limite hai provato a fare?
"Shocker":
Ciao Ticio
La dimostrazione non è difficile, cosa significa che $f(x) = o(x^n)$? Quale limite hai provato a fare?
La dimostrazione non credo sia difficile e laboriosa, me ne rendo conto
$ f(x) = o(x^n) $ significa che $lim_(x->0)(f(x))/(x^n) = 0$ (prima non ho specificato che $x -> 0$). Io ho provato a mettere $ n = m +j$ e quindi il limite diventa $lim_(x->0)(f(x))/(x^(m+j)) = lim_(x->0)(f(x))/(x^m)*(1/x^j) = 0$ però non ho risolto molto. Ma è l'unica cosa che mi viene in mente! Hai un consiglio da darmi?
"Ticio":
[quote="Shocker"]Ciao Ticio
La dimostrazione non è difficile, cosa significa che $f(x) = o(x^n)$? Quale limite hai provato a fare?
La dimostrazione non credo sia difficile e laboriosa, me ne rendo conto
$ f(x) = o(x^n) $ significa che $lim_(x->0)(f(x))/(x^n) = 0$ (prima non ho specificato che $x -> 0$). Io ho provato a mettere $ n = m +j$ e quindi il limite diventa $lim_(x->0)(f(x))/(x^(m+j)) = lim_(x->0)(f(x))/(x^m)*(1/x^j) = 0$ però non ho risolto molto. Ma è l'unica cosa che mi viene in mente! Hai un consiglio da darmi?
[/quote]Prova a partire da $lim_{x->0} f(x)/x^m$
Forse ci sono:
per ipotesi $m <= n$
esisterà quindi un certo $j >= 0$ t.c. $n = m + j$
$ lim_(x->0)(f(x))/(x^m) = lim_(x->0)(f(x))/(x^m)*(x^j/x^j) = lim_(x->0)(f(x))/(x^(m+j))*(x^j) = [lim_(x->0)(f(x))/(x^n)]*[lim_(x->0)x^j] = 0 $
Il primo limite tende a zero per ipotesi ed il secondo è immediato.
Così dovrebbe andare, o no?
per ipotesi $m <= n$
esisterà quindi un certo $j >= 0$ t.c. $n = m + j$
$ lim_(x->0)(f(x))/(x^m) = lim_(x->0)(f(x))/(x^m)*(x^j/x^j) = lim_(x->0)(f(x))/(x^(m+j))*(x^j) = [lim_(x->0)(f(x))/(x^n)]*[lim_(x->0)x^j] = 0 $
Il primo limite tende a zero per ipotesi ed il secondo è immediato.
Così dovrebbe andare, o no?
Sì 
Grazie mille per l'aiuto Sono felice di esserci riuscito
Sono felice di esserci riuscito
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