Proprietà insieme limitato.

[turtle87crociato]

La proprietà secondo cui, dato un insieme X sottoinsieme di R:
X limitato<=>esiste un d>0: |x|<=d Per ogni x appartenente ad X.

Io la dimostro così:
essendo X limitato, dovranno esistere due numeri, h e k, tali da essere:
h<=x<=k;

d si può scegliere arbitrariamente, e noi supporremo che sia d= |h|+|k|.

In base a ciò risulterà:

-d<-|h|<=h<=x<=k<=|k|
-d
Del resto, provo anche a interpretare "geometricamente" la cosa. Se h e k fossero entrambi positivi, e comunque rispettivamente minorante e maggiorante di X, il numero delta sarebbe evidentemente il maggiorante k aumentato di un numero positivo. Scrivendo x<=d, ammetteremmo che un qualsiasi numero x possa essere anche uguale ad un numero maggiore del maggiorante dell'insieme cui appartiene. Ma ciò è impossibile per la definizione di maggiorante, perchè il maggiorante di un insieme è già il maggiore dei numeri dell'insieme se appartiene all'insieme.
Alla fine se si guarda solo la tesi, si comprende che basta che ne esista uno, di numero d. Solo che mi pare strana la dimostrazione che mi è stata fornita, per quanto scritto sopra.

Il mio professore alla lavagna ha invece scritto x<=d. Ulteriori conferme mi sono arrivate consultando un testo che possiedo.

[gugo82]

"turtle87":Il mio professore alla lavagna ha invece scritto x<=d. Ulteriori conferme mi sono arrivate consultando un testo che possiedo.

Ovviamente questa frase ha da contenere $|x|$ al posto di $x$, altrimenti è palesemente inesatta (e.g. la semiretta $]-oo,d]$ non è limitata, ma i suoi elementi verificano tutti la disuguaglianza $x<=d$).

Mi preme dire una cosina. La relazione d'ordine stretta è più forte di quella d'ordine larga: ciò significa che $|x| D'altra parte, se esiste $d>=0$ tale che $|x|<=d$, allora $|x|
Insomma, affinché un insieme sia limitato non importa che la disuguaglianza tra $|x|$ e $d$ sia larga o stretta; va bene in ambedue i modi.


P.S.: a voler essere minimali, nella dimostrazione proposta si può prendere $d=max {|h|,|k|}$.

[turtle87crociato]

Ma comunque se utilizzo la dimostrazione del mio professore devo per forza distinguere i due passaggi?Vale a dire, prima dimostro, come ha fatto il mio professore, che -d

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[gugo82]

"turtle87":Ma comunque se utilizzo la dimostrazione del mio professore devo per forza distinguere i due passaggi?Vale a dire, prima dimostro, come ha fatto il mio professore, che -d
Se fai bene attenzione, tutta la storia della disuguaglianza stretta nella tua dimostrazione discende da una "eccessiva" scelta di $d$: insomma $d=|h|+|k|$ è troppo grande come costante e perciò ti pare (buono e) giusto scrivere le disuguaglianze che seguono con $<$ al posto di $<=$.
Se prendi $d=max {|h|,|k|}$ come ti ho suggerito, allora la questione non si pone: devi usare necessariamente la disuguaglianza larga $<=$.

D'altra parte, visto che $<$ è più forte di $<=$ (e lo stesso per $>$ e $>=$), chi ti vieta di scrivere "$-d<-|h|<=h<=x<=k<=|k|

P.S.: per scrivere correttamente le formule guarda un po' qui... Dopo 110 post sarebbe anche ora di imparare, no?

[Fioravante Patrone1]

[mod="Fioravante Patrone"]@turtle87:
Sì, è ora di usare MathML[/mod]

[turtle87crociato]

Però la mia scelta, seppur eccessiva, parte da una dimostrazione. In base ad essa, a cui comunque sento di dovermi attenere, chiedo come poter formulare il mio discorso logico, che mi serve per giustificarmi ogni volta la proprietà e non solo per pura Retorica .
Partendo quindi dalla scelta di d, seppur eccessiva, come posso sviluppare il mio discorso (ripeto, essendo sempre vincolato alla dimostrazione appena vista) per arrivare a far sì che |x|<=d (scusatemi per il MathLab, cercherò di fare il possibile quando avrò un po' di tempo) ? Come mi consigliate di sviluppare questo discorso? Basterà dire "-d<-|h|≤h≤x≤k≤|k|
Se poteste aiutarmi in tal senso ve ne sarei grato.