Proprietà funzione min/max

[fede.unive]

Salve a tutti. Avrei un problema riferito ad una considerazione che ho trovato su un articolo che mi convince poco. (premetto che si tratta di un articolo sceintifico, ma non espressamente di matematica) Allora date due funzioni $f:A sube RR^n rarr RR$ e $g:B sube RR^n rarr RR$ entrambe di classe $C^1$, cosa posso dire sulla continuità e differnziabilità della funzione:

$H(bb{x})=min{f(bb{x});g(bb{x})}$?

Lo domando perchè l'autore glissa sull'argomento, calcolando tranquillamente le derivate parziali di $H$, rispetto a $x_1, x_2, ..., x_n$.

[robbstark1]

Considera la funzione differenza: [tex]h(x) = f(x) - g(x)[/tex].
Essa è di classe [tex]C^l[/tex] perchè differenza di due funzioni di classe [tex]C^l[/tex].

Nei punti tali che [tex]h(x) \ne 0[/tex] esiste un intorno tale che [tex]h[/tex] non cambi segno, quindi in cui il minimo è sempre dato da [tex]f[/tex] o da [tex]g[/tex], per cui la funzione [tex]H[/tex] in quell'intorno coincide con una tra [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex], ed è dunque [tex]C^l[/tex].

Nei punti tali che [tex]h(x) = 0[/tex] possono accadere vari casi:

1. Esiste comunque un intorno di [tex]x[/tex] in cui [tex]h[/tex] non cambia segno.
Questo avviene se i grafici delle due funzioni [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] non si intersecano in [tex]x[/tex], bensì si toccano soltanto, cioè [tex]x[/tex] è un punto di tangenza comune.
In questo caso vale lo stesso che la funzione [tex]H[/tex] in quell'intorno coincide con una tra [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex], ed è dunque [tex]C^l[/tex].

2. Per ogni intorno di [tex]x[/tex] esiste una parte in cui [tex]h>0[/tex] e una in cui [tex]h<0[/tex].
In questo caso i due grafici si intersecano, e graficamente è chiaro che almeno alcune derivate parziali avranno un salto.

3. Esiste un intorno di [tex]x[/tex] in cui [tex]H=0[/tex].
In tal caso [tex]f=g=H[/tex] in un intorno di [tex]x[/tex], per cui [tex]H[/tex] sarebbe [tex]C^l[/tex].

[fede.unive]

Quindi, se non ho capito male, tu dici di ragionare così:

$H(bb{x})=min{f(bb{x});g(bb{x})} \sim min{h(bb{x}),0}$

dove $h(bb{x})=f(bb{x})-g(bb{x})$

Se $h(bb{x})!=0 => H in C^1$

Se $h(bb{x})=0$ devo considerare i tre casi

1) $EE I: \grad f(bb{x})=\grad g(bb{x}) => h(bb{x})$ non cambia segno $ => H in C^1$
2) $EE I: \grad f(bb{x})!=\grad g(bb{x}) => h(bb{x})$ cambia segno $ => H notin C^1$
3) $EE I: f(bb{x})= g(bb{x}) => h(bb{x}) =0 => H(bb{x}) =0 => H in C^1$

Giusto?

[fede.unive]

Faccio difficoltà a conciliare il caso 3). Non è implicito nell'ipotesi $h(bb{x})=0$?

[robbstark1]

"fede.unive":Quindi, se non ho capito male, tu dici di ragionare così:

$H(bb{x})=min{f(bb{x});g(bb{x})}=min{h(bb{x}),0}$

dove $h(bb{x})=f(bb{x})-g(bb{x})$

No: $min{f( bb{x});g( \bb{x})} \ne min{h(bb{x}),0}$
La funzione [tex]h[/tex] indica le zone in cui $H(x)=f(x)$ (dove $H(bb{x})<=0$) e $H(bb{x}) = g(bb{x})$ (dove $H(bb{x})>=0$).

[robbstark1]

"fede.unive":Faccio difficoltà a conciliare il caso 3). Non è implicito nell'ipotesi $h(bb{x})=0$?

$h(bb{x})=0$ significa che in un dato punto $bb{x} in RR^n$ si ha $h(bb{x})=0$.
Il caso 3) invece si ha se $h=0$ in tutto un intorno di un punto $bb{x}$.

[fede.unive]

Grazie mille per il chiarimento. Ora ci ragiono sù

[fede.unive]

Se puoi avrei ancora bisogno di un aiuto parere. In particolare avrei bisogno di sapere se il seguente ragionamento è corretto. Ci sono sempre le due funzioni di prima con l'unica modifica $f(bb{x},t)$,$g(bb{x},t)$.
Si consideri la funzione integrale:

$F(bb{x})=int_{0}^1 min{f(bb{x},t),g(bb{x},t)} * a(t) $ $ text{d} t $

questa risulta pari a:

$F(bb{x})=int_{0}^1 g(bb{x},t)* a(t)$ $ text{d} t$ $,if f(bb{x},t) >= g(bb{x},t)$
$F(bb{x})=int_{0}^1 f(bb{x},t)* a(t) $ $text{d} t$ $, if f(bb{x},t)
Ora posto $gamma(bb{x},t)=g(bb{x},t)* a(t)$ e $lambda(bb{x},t)=f(bb{x},t)* a(t)$, la funzione integrale risulta:

$F(bb{x})=Gamma(bb{x},1)-Gamma(bb{x},0) , if f(bb{x},t) >= g(bb{x},t)$
$F(bb{x})=Lambda(bb{x},1)-Lambda(bb{x},0), if f(bb{x},t)
dove $Gamma$ e $Lambda$ sono le primitive di $gamma$ e $lambda$ (mi spiace ma non riesco a scriverlo in un'unica espressione con la graffa).
Se ora mi viene chiesto di studiare la differenziabilità di $F(bb{x})$, ossia l'esistenza delle generiche derivate

${delF(bb{x})}/{delx_i}$

l'unico zona "critica" è l'intorno $I={bb{x}:f(bb{x},t) = g(bb{x},t)}$, giusto? Affinché sia $F in C^1(I)$ deve risultare

$grad (Gamma(bb{x},1)-Gamma(bb{x},0))=grad(Lambda(bb{x},1)-Lambda(bb{x},0)) $ $text{ in}$ $ I$ ?

Grazie mille in anticipo

[fede.unive]

up

[robbstark1]

"fede.unive":
Si consideri la funzione integrale:

$F(bb{x})=int_{0}^1 min{f(bb{x},t),g(bb{x},t)} * a(t) $ $ text{d} t $

questa risulta pari a:

$F(bb{x})=int_{0}^1 g(bb{x},t)* a(t)$ $ text{d} t$ $,if f(bb{x},t) >= g(bb{x},t)$
$F(bb{x})=int_{0}^1 f(bb{x},t)* a(t) $ $text{d} t$ $, if f(bb{x},t)

Scusa il ritardo nella risposta. Questo ragionamento non funziona a meno che $AA bb{x}$ si abbia $f(bb{x},t) >= g(bb{x},t) \ AA t$ o $f(bb{x},t) <= g(bb{x},t) \ AA t$

"fede.unive":
l'unica zona "critica" è l'intorno $I={bb{x}:f(bb{x},t) = g(bb{x},t)}$, giusto?

La zona critica è quella, ma in generale non è un intorno (per intorno di un punto si intende un aperto contente il punto o altre definizioni equivalenti).

[fede.unive]

L'intorno so di averlo scritto male...ma non trovavo un modo "efficace" per scriverlo.

"robbstark":

Scusa il ritardo nella risposta. Questo ragionamento non funziona a meno che $AA bb{x}$ si abbia $f(bb{x},t) >= g(bb{x},t) \ AA t$ o $f(bb{x},t) <= g(bb{x},t) \ AA t$

Sì, sono d'accordo. Però si tratta solo di scriverlo. Non vedo come non possano verificarsi uno dei vari due casi. O è maggiore $f(bb{x},t)$ o è maggiore $g(bb{x},t)$ (o sono uguali). No? (non so se sono riuscito a spiegarmi)

[robbstark1]

No, forse era più chiaro se scrivevo a parole anzichè in simboli.

Tu hai supposto che in tutto il dominio d'integrazione si ha $f(x,t) >= g(x,t)$ oppure $f(x,t) < g(x,t)$. Siccome la variabile d'integrazione è $t$, si può considerare la $x$ fissata, quindi devi avere che in corrispondenza di ogni $x$ vale una delle due disequazioni per ogni $t$.
Questo non è affatto scontato che accada. Faccio un semplice esempio (per semplicità suppongo che $x$ e $t$ siano numeri, ma si possono fare esempi anche in più dimensioni):
$f(x,t) = x + t$
$g(x,t) = x + 4t^2$
Vediamo cosa accade per esempio per $x=0$:
risulta $f >= g$ per $0 <= t <= 1/4$, $f < g$ per $1/4 < t <=1$

[gugo82]

Se \(f,g\) sono funzioni di Sobolev (il che molte volte basta... ma non conosco il contesto dell'articolo che stai leggendo), allora \(h:=\max \{ f,g\}\) è pure una funzione di Sobolev in quanto è possibile la rappresentazione:
\[
h(x) = \frac{1}{2}\ |f(x)-g(x)| + \frac{1}{2}\ (f(x)+g(x))
\]
ed in quanto la mappa \(u\to |u|\) trasforma funzioni di Sobolev in funzioni di Sobolev.

Se serve necessariamente che \(h\) sia di classe \(C^1\), ovviamente l'ipotesi \(f,g\in C^1\) non basta: infatti la funzione:
\[
|x|:=\max \{ x,-x\}
\]
non è \(C^1\) (pur essendolo le due componenti interne \(f(x):=x\) e \(g(x):=-x\)).
Quello che si deve ipotizzare affinché \(h\in C^1\) è che \(f^\prime (x)=g^\prime(x)\) in ogni punto dell'insieme di contatto \(S:=\{ x:\ f(x)=g(x)\}\).

[fede.unive]

"robbstark":No, forse era più chiaro se scrivevo a parole anzichè in simboli.

Tu hai supposto che in tutto il dominio d'integrazione si ha $f(x,t) >= g(x,t)$ oppure $f(x,t) < g(x,t)$. Siccome la variabile d'integrazione è $t$, si può considerare la $x$ fissata, quindi devi avere che in corrispondenza di ogni $x$ vale una delle due disequazioni per ogni $t$.
Questo non è affatto scontato che accada. Faccio un semplice esempio (per semplicità suppongo che $x$ e $t$ siano numeri, ma si possono fare esempi anche in più dimensioni):
$f(x,t) = x + t$
$g(x,t) = x + 4t^2$
Vediamo cosa accade per esempio per $x=0$:
risulta $f >= g$ per $0 <= t <= 1/4$, $f < g$ per $1/4 < t <=1$

Cavolo.... hai ragione!

Quindi quello che ho scritto vale solo se, il fatto che una funzione sia maggiore dell'altro non dipende affatto da t. Giusto? (esiste un modo matematico "bello" per dire questa cosa?)
Dunque, la funzione potrebbe risultare anche non integrabile, giusto?

[fede.unive]

"gugo82":Se \(f,g\) sono funzioni di Sobolev (il che molte volte basta... ma non conosco il contesto dell'articolo che stai leggendo), allora \(h:=\max \{ f,g\}\) è pure una funzione di Sobolev .

Grazie mille per l'informazione che mi dai. Ahime la teoria delle funzioni di Sobolev sono, per ora, un po' fuori dalla mia portata. Ma qualitativamente ho capito dove è il nocciolo della questione.

Per quanto riguarda l'articolo, è un articolo di teoria del rischio (al quale, qualsiasi matematico, leggendolo verrebbe la pelle d'oca)... L'autore "gioca" con cose che non sa bene controllare...
Io ho semplificato al minimo la situazione ma $T$ sarebbe una variabile casuale con funzione di densità $a(t)$ e $f$ e $g$, oltre ad essere funzione di $bb{x}$ deterministico, sono funzione anche della variabile casuale....