Proprietà estremo superiore e inferiore

[liberatorimatteo]

Buonasera, dovrei dimostrare questa proprietà
sup$(f)-$inf$(f) >= $sup$(abs(f))-$inf$(abs(f)) $
Una volta mi era stata accennata la dimostrazione usando le definiszioni e giocando un po con gli epsilon ma ora non riesco a farla...
Grazie mille in anticipo, anche se mi date solo un minimo un'idea mi farebbe piacere

[Bremen000]

Innanzitutto le definizioni di inf e sup:

Sia $f : A \to \mathbb{R}$ e sia $B \subseteq A$.

Definizione (estremo superiore):

$M \in \mathbb{R}$ è detto estremo superiore di $f$ in $B$ se:

1. $M \ge f(x) \quad \quad \forall x \in B$
2. $\forall \varepsilon >0 \quad \exists x_{\varepsilon} \in B \quad \text{t.c.} \quad M-\varepsilon < f(x_{\varepsilon})$

e lo indichiamo con $M =\underset{x \in B}{\text{sup}} (f) $.

Definizione (estremo inferiore):

$m \in \mathbb{R}$ è detto estremo inferiore di $f$ in $B$ se:

1. $m \le f(x) \quad \quad \forall x \in B$
2. $\forall \varepsilon >0 \quad \exists x_{\varepsilon} \in B \quad \text{t.c.} \quad m+\varepsilon > f(x_{\varepsilon})$

e lo indichiamo con $m =\underset{x \in B}{\text{inf}} (f) $

D'ora e in avanti indicherò $\underset{x \in B}{\text{inf}} (f)$ e $\underset{x \in B}{\text{sup}} (f)$ semplicemente con $\text{inf}(f)$ e $\text{sup}(f)$.

Dimostriamo dapprima che vale $\text{sup} (-f) = -\text{inf}(f)$ e $\text{inf} (-f) = -\text{sup}(f)$:

1. $\text{sup} (-f) = -\text{inf}(f)$

Per definizione $M=\text{sup} (-f)$ verifica

\[
\begin{cases}
M \ge -f(x) \quad \quad \forall x \in B \\
\forall \varepsilon >0 \quad \exists x_{\varepsilon} \in B \quad \text{t.c.} \quad M-\varepsilon < -f(x_{\varepsilon})
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
-M \le f(x) \quad \quad \forall x \in B \\
\forall \varepsilon >0 \quad \exists x_{\varepsilon} \in B \quad \text{t.c.} \quad -M+\varepsilon > f(x_{\varepsilon})
\end{cases}
\]
e dunque posto $m=-M$ è chiaro che $m$ verifica
\[
\begin{cases}
m \le f(x) \quad \quad \forall x \in B \\
\forall \varepsilon >0 \quad \exists x_{\varepsilon} \in B \quad \text{t.c.} \quad m+\varepsilon > f(x_{\varepsilon})
\end{cases}
\]
che è la definizione di $\text{inf}(f)$.


2. $\text{inf} (-f) = -\text{sup}(f)$

Per definizione $m=\text{inf} (-f)$ verifica

\[
\begin{cases}
m \le -f(x) \quad \quad \forall x \in B \\
\forall \varepsilon >0 \quad \exists x_{\varepsilon} \in B \quad \text{t.c.} \quad m+\varepsilon > -f(x_{\varepsilon})
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
-m \ge f(x) \quad \quad \forall x \in B \\
\forall \varepsilon >0 \quad \exists x_{\varepsilon} \in B \quad \text{t.c.} \quad -m-\varepsilon < f(x_{\varepsilon})
\end{cases}
\]
e dunque posto $M=-m$ è chiaro che $M$ verifica
\[
\begin{cases}
M \ge f(x) \quad \quad \forall x \in B \\
\forall \varepsilon >0 \quad \exists x_{\varepsilon} \in B \quad \text{t.c.} \quad M-\varepsilon < f(x_{\varepsilon})
\end{cases}
\]
che è la definizione di $\text{sup}(f)$.

Ora procediamo alla dimostrazione vera e propria;

1. Se $f$ è sempre non negativa allora $|f|=f$ e dunque la tesi è banalmente verificata.
2. Se $f$ è sempre non positiva allora $|f|=-f$ e dunque:

$\text{sup}(|f|) -\text{inf}(|f|) = \text{sup}(-f) -\text{inf}(-f) = -\text{inf}(f) + \text{sup}(f) \le \text{sup}(f)-\text{inf}(f) $

3. Se $f$ invece cambia segno è chiaro che $\text{sup}(f) > 0$ e $\text{inf}(f) <0$.

3.1 Se $\text{sup}(f) \ge |\text{inf}(f)|$ allora $\text{sup}(f) = \text{sup}(|f|)$ e $\text{inf}(|f|) \ge 0$ e quindi

$ \text{sup}(f)-\text{inf}(f) \ge \text{sup}(f) = \text{sup}(|f|) \ge \text{sup}(|f|) -\text{inf}(|f|)$

3.2 Se $\text{sup}(f) \le |\text{inf}(f)|$ allora $\text{sup}(|f|) = -\text{inf}(f)$ e $-\text{inf}(|f|) \le 0 \le \text{sup}(f)$

dunque sommando le ultime due uguaglianze/disugugaglianze:

$\text{sup}(|f|) -\text{inf}(|f|) \le -\text{inf}(f) + \text{sup}(f)$

[liberatorimatteo]

Ciao, grazie mille!
Tuttavia ho continuato a provare ( ho chiesto un consiglio al prof) perché ricordavo che era molto più semplice e non serviva esaminare tutti i casi però mi blocco ad un certo punto:
$ \text{sup}(|f|) -\text{inf}(|f|) \le -\text{inf}(f) + \text{sup}(f) $
DImostrazione: Siano
$\text{sup}(|f|)=M \Rightarrow M−ɛ<=|f(x_s)| $
$\text{inf}(|f|)=m \Rightarrow m+ɛ>=|f(x_i)| $

$\text{sup}(f)=M' \Rightarrow M'−ɛ<=f(x_s) $
$\text{inf}(f)=m' \Rightarrow m'+ɛ>=f(x_i) $
Ma allora
$M-m−2ɛ<=|f(x_s)|-|f(x_i)|<=|f(x_s)-f(x_i)|=f(x_s)-f(x_i)$
ora vorrei concludere con
$f(x_s)-f(x_i)<=M'-m'-2\varepsilon$

ma questa cosa non è vera, dove sto sbagliando?

[Bremen000]

Non mi è chiaro cosa siano $x_i$ e $x_s$...

[liberatorimatteo]

$M \in \mathbb{R}$ è detto estremo superiore di $f$ in $B$ se:

1. $M \ge f(x) \quad \quad \forall x \in B$
2. $\forall \varepsilon >0 \quad \exists x_{\varepsilon} \in B \quad \text{t.c.} \quad M-\varepsilon < f(x_{\varepsilon})$

$m \in \mathbb{R}$ è detto estremo inferiore di $f$ in $B$ se:

1. $m \le f(x) \quad \quad \forall x \in B$
2. $\forall \varepsilon >0 \quad \exists x_{\varepsilon} \in B \quad \text{t.c.} \quad m+\varepsilon > f(x_{\varepsilon})$

Ora visto che $M-\varepsilon < f(x_{\varepsilon})$ e $m+\varepsilon > f(x_{\varepsilon})$ ho chiamato $x_s$ la $x_{\varepsilon}$ del sup e $x_i$ quella dell'inf per non confonderle (non penso siano la stessa x no?)

[Bremen000]

Ok quindi avevo interpretato più o meno bene quello che volevi dire. Cioè fissato $\varepsilon>0$ allora esisteranno $x_1 , x_2 , x_3 , x_4$ che verificano le cose che hai scritto. Il problema è che per $\text{inf}|f|$ e $\text{inf}(f)$ si avranno $x_2$ e $x_4$, in generale non la stessa $x_i$.

[gugo82]

Osservato che:
\[
\begin{split}
\sup f -\inf f &= \sup_{x,y\in B} \Big| f(x)-f(y)\Big|\\
\sup |f| -\inf |f| &= \sup_{x,y\in B} \Big| |f(x)|-|f(y)|\Big|\; ,
\end{split}
\]
basta mostrare che \(\sup f -\inf f\) è un maggiorante delle quantità \(\Big| |f(x)|-|f(y)|\Big|\) ottenute al variare di $x,y in B$.
Per disuguaglianza triangolare inversa troviamo:
\[
\begin{split}
\Big| |f(x)|-|f(y)|\Big| &\leq |f(x)-f(y)|\\
&\leq \sup_{x,y\in B} |f(x)-f(y)|\\
&=\sup f -\inf f
\end{split}
\]
ed abbiamo fatto.

[liberatorimatteo]

"Bremen000":Ok quindi avevo interpretato più o meno bene quello che volevi dire. Cioè fissato $\varepsilon>0$ allora esisteranno $x_1 , x_2 , x_3 , x_4$ che verificano le cose che hai scritto. Il problema è che per $\text{inf}|f|$ e $\text{inf}(f)$ si avranno $x_2$ e $x_4$, in generale non la stessa $x_i$.

Vero hai ragione... Grazie!

"gugo82":Osservato che:
\[ \begin{split} \sup f -\inf f &= \sup_{x,y\in B} \Big| f(x)-f(y)\Big|\\ \sup |f| -\inf |f| &= \sup_{x,y\in B} \Big| |f(x)|-|f(y)|\Big|\; , \end{split} \]
basta mostrare che \( \sup f -\inf f \) è un maggiorante delle quantità \( \Big| |f(x)|-|f(y)|\Big| \) ottenute al variare di $ x,y in B $.
Per disuguaglianza triangolare inversa troviamo:
\[ \begin{split} \Big| |f(x)|-|f(y)|\Big| &\leq |f(x)-f(y)|\\ &\leq \sup_{x,y\in B} |f(x)-f(y)|\\ &=\sup f -\inf f \end{split} \]
ed abbiamo fatto.

Wow, molto bella anche questa dimostrazione però ora dovrei dimostrare che \[ \begin{split} \sup f -\inf f &= \sup_{x,y\in B} \Big| f(x)-f(y)\Big|\; \end{split} \]
Concettualmente è ovvio... Vabbè ci penserò

Grazie mille ad entrambi!