Proprietà elementare (???)
Su di un libro su cui sto studiando è presente la seguente proprietà elementare:
\begin{equation}
(1+x)^{1-\delta}\leq \delta x +\frac{1}{\delta}^{\frac{1}{\delta}} \mbox{ per } x>0,0<\delta<1.
\end{equation}
Io l'ho data per scontata ma il prof mi ha chiesto di dimostrarla... idee?? Ora come ora non ho ispirazioni...
\begin{equation}
(1+x)^{1-\delta}\leq \delta x +\frac{1}{\delta}^{\frac{1}{\delta}} \mbox{ per } x>0,0<\delta<1.
\end{equation}
Io l'ho data per scontata ma il prof mi ha chiesto di dimostrarla... idee?? Ora come ora non ho ispirazioni...
Risposte
Io non ti so aiutare, ma posso dirti che dovresti provare a tirar fuori almeno qualche considerazione personale, altrimenti nessuno ti darà una mano: è contrario al regolamento (oltre che dannoso per te) 
Ah ok, grazie mille! L'idea che avevo avuto era quella di sfruttare la definizione di potenza con esponente reale, quindi di lavorare con esponenti $(1-\delta)$ interi ma non so se risolvo il problema... la cosa più semplice mi sembrava di risolverla graficamente?? dovrei però verificarla per ogni $\delta$ e quindi... niente formalità, dunque no! Oppure pensavo di ricondurmi a qualche norma\seminorma...
"lucillina":
Ah ok, grazie mille! L'idea che avevo avuto era quella di sfruttare la definizione di potenza con esponente reale, quindi di lavorare con esponenti $(1-\delta)$ interi ma non so se risolvo il problema... la cosa più semplice mi sembrava di risolverla graficamente?? dovrei però verificarla per ogni $\delta$ e quindi... niente formalità, dunque no!
Non so proprio nulla, ma come fa $(1-\delta)$ a diventare intero se $\delta$ deve essere compreso tra 0 e 1?
Un'idea è quella di far vedere che la funzione:
\[
f(x) := (1+x)^{1-\delta} -\delta x
\]
ha estremo superiore \(\leq \frac{1}{\delta^{1/\delta}}\); ciò si può fare usando il Calcolo Differenziale, ad esempio.
\[
f(x) := (1+x)^{1-\delta} -\delta x
\]
ha estremo superiore \(\leq \frac{1}{\delta^{1/\delta}}\); ciò si può fare usando il Calcolo Differenziale, ad esempio.
Scusami ho scritto in fretta ... per definizione di potenza con esponente reale si prende questa:
\[ x^\alpha :=\inf\{ x^q \mid q\in\mathbb{Q}, \, q>\alpha \} \]
nel nostro caso:
\[( 1+x)^{1-\delta} :=\inf\{ (1+x)^q \mid q\in\mathbb{Q}, \, q>(1-\delta) \}. \]
quindi lavoro su $(1+x)^q$ con $q$ tale che $q>(1-\delta)$ e poi passo a l'inf... se non ho altre idee procederei così, ma mi sa che è abbastanza arduo...
\[ x^\alpha :=\inf\{ x^q \mid q\in\mathbb{Q}, \, q>\alpha \} \]
nel nostro caso:
\[( 1+x)^{1-\delta} :=\inf\{ (1+x)^q \mid q\in\mathbb{Q}, \, q>(1-\delta) \}. \]
quindi lavoro su $(1+x)^q$ con $q$ tale che $q>(1-\delta)$ e poi passo a l'inf... se non ho altre idee procederei così, ma mi sa che è abbastanza arduo...
"gugo82":
Un'idea è quella di far vedere che la funzione:
\[
f(x) := (1+x)^{1-\delta} -\delta x
\]
ha estremo superiore \(\leq \frac{1}{\delta^{1/\delta}}\); ciò si può fare usando il Calcolo Differenziale, ad esempio.
Gugo grazie, a questo non avevo pensato... Ora ci provo!
Oh, ci sono riuscita! Ho studiato $f(x)$ e ho stimato il sup, ho fatto un po' di conticini e stime e ho risolto!
Grazie ancora del consiglio gugo!
Grazie ancora del consiglio gugo!
Prego.
Comunque, ricorda che questa è una tecnica abbastanza standard.
Insomma, quando vuoi provare che esiste una costante \(C\) tale che \(f(x)\leq g(x)+C\), basta formare la funzione deficit \(\Delta (x)=f(x)-g(x)\) (oppure \(\Delta (x)=g(x)-f(x)\), a seconda di quale ti sembra più carina
) e studiarne gli estremi con i metodi del Calcolo Differenziale.
Analogamente, quando vuoi dimostrare che esiste una costante \(C\) tale che \(f(x)\leq C\ g(x)\), ti basta formare il rapporto \(R(x):=\frac{f(x)}{g(x)}\) (oppure \(R(x):=\frac{g(x)}{f(x)}\)) e studiarne gli estremi coi metodi del Calcolo.
Queste tecniche funzionano anche per dimostrare alcune disuguaglianze tra funzioni di più variabili, a patto che esse siano sufficientemente "omogenee". Per un esempio, puoi vedere qui.
Comunque, ricorda che questa è una tecnica abbastanza standard.
Insomma, quando vuoi provare che esiste una costante \(C\) tale che \(f(x)\leq g(x)+C\), basta formare la funzione deficit \(\Delta (x)=f(x)-g(x)\) (oppure \(\Delta (x)=g(x)-f(x)\), a seconda di quale ti sembra più carina
) e studiarne gli estremi con i metodi del Calcolo Differenziale.Analogamente, quando vuoi dimostrare che esiste una costante \(C\) tale che \(f(x)\leq C\ g(x)\), ti basta formare il rapporto \(R(x):=\frac{f(x)}{g(x)}\) (oppure \(R(x):=\frac{g(x)}{f(x)}\)) e studiarne gli estremi coi metodi del Calcolo.
Queste tecniche funzionano anche per dimostrare alcune disuguaglianze tra funzioni di più variabili, a patto che esse siano sufficientemente "omogenee". Per un esempio, puoi vedere qui.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo