Proprietà di una funzione implicita
La situazione è questa.
Ho due funzioni [tex]$\phi,\Phi :[0,1]\to [0,+\infty[$[/tex] strettamente crescenti e di classe [tex]$C^\infty$[/tex] con [tex]$\phi(0)=0=\Phi(0)$[/tex] ed [tex]$\phi^\prime (0)=0=\Phi^\prime (0)$[/tex].
La monotonia mi consente di definire, almeno in un intorno destro di [tex]$0$[/tex], una funzione implicita [tex]$T(t)$[/tex] dall'equazione:
(*) [tex]$\phi (t)= \Phi (T)$[/tex]
tale che [tex]$T(0)=0$[/tex] (uso la monotonia perchè la condizione [tex]$\Phi^\prime (0)=0$[/tex] non consente di applicare direttamente Dini in [tex]$0$[/tex]); la funzione così definita è strettamente crescente, di classe [tex]$C^\infty$[/tex] a destra di [tex]$0$[/tex] e si vede che essa soddisfa l'equazione differenziale:
[tex]$T^\prime (t)\ \Phi^\prime (T(t)) = \phi^\prime (t)$[/tex],
la quale ha però un punto singolare in [tex]$0$[/tex].
Vi chiedo due cose.
1. Visto che intorno a [tex]$0$[/tex] ho per ambo i membri di (*) degli sviluppi di Taylor del tipo:
[tex]$\phi (t)=\tfrac{1}{2}\ F^{\prime \prime} (0)\ t^2 +\text{o}(t^2)$[/tex]
[tex]$\Phi (T)=\tfrac{1}{2}\ \Phi^{\prime \prime} (0)\ T^2 +\text{o}(T^2)$[/tex],
posso da ciò (e da quanto ho detto in precedenza) che:
(**) [tex]$T(t)=C\ t+ \text{o}(t)$[/tex], con [tex]$C=\sqrt{\tfrac{\phi^{\prime \prime} (0)}{\Phi^{\prime \prime} (0)}}$[/tex]?
L'idea (molto qualitativa) che mi porta a (**) è che, se così non fosse, per [tex]$t\approx 0$[/tex] ci sarebbe una crescita più veloce di uno dei due membri di (*) rispetto all'altro, quindi l'uguaglianza non potrebbe essere valida.
2. Supponiamo che [tex]$C>1$[/tex] [risp. [tex]$C<1$[/tex]]: in tal caso, se è valida la (**), allora dovrebbe essere:
(***) [tex]$T(t)>t$[/tex] [risp. [tex]$T(t)
almeno in un piccolo intorno destro di [tex]$0$[/tex] (giusto? O mi sto rimbecillendo?).
Secondo voi, quale sarebbe una buona strada per dimostrare che una relazione del tipo (***) risulta valida in tutto l'insieme di definizione della [tex]$T$[/tex]?
Ho due funzioni [tex]$\phi,\Phi :[0,1]\to [0,+\infty[$[/tex] strettamente crescenti e di classe [tex]$C^\infty$[/tex] con [tex]$\phi(0)=0=\Phi(0)$[/tex] ed [tex]$\phi^\prime (0)=0=\Phi^\prime (0)$[/tex].
La monotonia mi consente di definire, almeno in un intorno destro di [tex]$0$[/tex], una funzione implicita [tex]$T(t)$[/tex] dall'equazione:
(*) [tex]$\phi (t)= \Phi (T)$[/tex]
tale che [tex]$T(0)=0$[/tex] (uso la monotonia perchè la condizione [tex]$\Phi^\prime (0)=0$[/tex] non consente di applicare direttamente Dini in [tex]$0$[/tex]); la funzione così definita è strettamente crescente, di classe [tex]$C^\infty$[/tex] a destra di [tex]$0$[/tex] e si vede che essa soddisfa l'equazione differenziale:
[tex]$T^\prime (t)\ \Phi^\prime (T(t)) = \phi^\prime (t)$[/tex],
la quale ha però un punto singolare in [tex]$0$[/tex].
Vi chiedo due cose.
1. Visto che intorno a [tex]$0$[/tex] ho per ambo i membri di (*) degli sviluppi di Taylor del tipo:
[tex]$\phi (t)=\tfrac{1}{2}\ F^{\prime \prime} (0)\ t^2 +\text{o}(t^2)$[/tex]
[tex]$\Phi (T)=\tfrac{1}{2}\ \Phi^{\prime \prime} (0)\ T^2 +\text{o}(T^2)$[/tex],
posso da ciò (e da quanto ho detto in precedenza) che:
(**) [tex]$T(t)=C\ t+ \text{o}(t)$[/tex], con [tex]$C=\sqrt{\tfrac{\phi^{\prime \prime} (0)}{\Phi^{\prime \prime} (0)}}$[/tex]?
L'idea (molto qualitativa) che mi porta a (**) è che, se così non fosse, per [tex]$t\approx 0$[/tex] ci sarebbe una crescita più veloce di uno dei due membri di (*) rispetto all'altro, quindi l'uguaglianza non potrebbe essere valida.
2. Supponiamo che [tex]$C>1$[/tex] [risp. [tex]$C<1$[/tex]]: in tal caso, se è valida la (**), allora dovrebbe essere:
(***) [tex]$T(t)>t$[/tex] [risp. [tex]$T(t)
almeno in un piccolo intorno destro di [tex]$0$[/tex] (giusto? O mi sto rimbecillendo?).
Secondo voi, quale sarebbe una buona strada per dimostrare che una relazione del tipo (***) risulta valida in tutto l'insieme di definizione della [tex]$T$[/tex]?
Risposte
Forse dipenderà dal fatto che non ho ancora metabolizzato il secondo caffé della mattinata, ma ci sono alcuni punti che non mi tornano.
a) Non mi sembra ci siano le condizioni per garantire che $T$ sia di classe $C^{\infty}$ in un intorno destro dell'origine; le derivate di $\phi$ e $\Phi$ potrebbero annullarsi infinite volte in un intorno destro dell'origine.
b) Mi sembra che la (**) in generale non sia valida; basta prendere ad esempio $\phi(t) = t^2$, $\Phi(T) = T^3$.
c) Per garantire la (***) è necessario e sufficiente che $\phi(s) > \Phi(s)$ [risp. $\phi(s) < \Phi(s)$] per ogni $s>0$; serve dunque un'ipotesi che garantisca questa condizione.
a) Non mi sembra ci siano le condizioni per garantire che $T$ sia di classe $C^{\infty}$ in un intorno destro dell'origine; le derivate di $\phi$ e $\Phi$ potrebbero annullarsi infinite volte in un intorno destro dell'origine.
b) Mi sembra che la (**) in generale non sia valida; basta prendere ad esempio $\phi(t) = t^2$, $\Phi(T) = T^3$.
c) Per garantire la (***) è necessario e sufficiente che $\phi(s) > \Phi(s)$ [risp. $\phi(s) < \Phi(s)$] per ogni $s>0$; serve dunque un'ipotesi che garantisca questa condizione.
Eh... Non lo dire a me, che ieri dormivo seduto.
Infatti, per quanto riguarda a) e b), ho mancato di specificare che [tex]$\phi^\prime , \Phi^\prime$[/tex] sono positive a destra di [tex]$0$[/tex] e che, al massimo della sfiga, può succedere che [tex]$\phi^\prime (1)=0$[/tex] (e non sarebbe comunque un caso da buttar via).
Inoltre [tex]$\phi^{\prime \prime} (0), \Phi^{\prime \prime} (0)<0$[/tex] ed avevo dimenticato due apici in (***).
Per quanto riguarda c), beh una disuguaglianza del tipo [tex]$\phi >\Phi$[/tex] era proprio quello cui volevo arrivare.
Ho scelto questa strada perchè lavorare sulle derivate di [tex]$\phi-\Phi$[/tex] non mi ha portato a nulla (sono funzioni un po' incasinate, che soddisfano una relazione integro-differenziale non proprio pulita). Mi rendo conto che [tex]$T$[/tex] non è molto meglio, però almeno verifica una EDO e non delle relazioni strane, così si può (almeno in linea di principio) cercare di metterci mano con strumenti un po' più standard... O no?
Infatti, per quanto riguarda a) e b), ho mancato di specificare che [tex]$\phi^\prime , \Phi^\prime$[/tex] sono positive a destra di [tex]$0$[/tex] e che, al massimo della sfiga, può succedere che [tex]$\phi^\prime (1)=0$[/tex] (e non sarebbe comunque un caso da buttar via).
Inoltre [tex]$\phi^{\prime \prime} (0), \Phi^{\prime \prime} (0)<0$[/tex] ed avevo dimenticato due apici in (***).
Per quanto riguarda c), beh una disuguaglianza del tipo [tex]$\phi >\Phi$[/tex] era proprio quello cui volevo arrivare.
Ho scelto questa strada perchè lavorare sulle derivate di [tex]$\phi-\Phi$[/tex] non mi ha portato a nulla (sono funzioni un po' incasinate, che soddisfano una relazione integro-differenziale non proprio pulita). Mi rendo conto che [tex]$T$[/tex] non è molto meglio, però almeno verifica una EDO e non delle relazioni strane, così si può (almeno in linea di principio) cercare di metterci mano con strumenti un po' più standard... O no?
Per quanto riguarda la (**) mi sembra non ci siano problemi.
Dalle ipotesi complete (per inciso, credo debba essere $\phi''(0), \Phi''(0) > 0$ e non $<0$) si ha che, per ogni $\epsilon > 0$, esiste $\delta > 0$ t.c.
$(\frac{1}{2}\phi''(0) - \epsilon) t^2 < \phi(t) < (\frac{1}{2}\phi''(0) + \epsilon) t^2$,
$(\frac{1}{2}\Phi''(0) - \epsilon) T^2 < \Phi(T) < (\frac{1}{2}\phi''(0) + \epsilon) T^2$,
per ogni $t, T \in [0, \delta]$.
In particolare
$(\frac{1}{2}\Phi''(0) - \epsilon) T(t)^2 < \Phi(T(t)) = \phi(t) < (\frac{1}{2}\phi''(0) + \epsilon) t^2$,
da cui
$\frac{T(t)^2}{t^2} < \frac{\frac{1}{2}\phi''(0) + \epsilon}{\frac{1}{2}\Phi''(0) - \epsilon}$.
Analogamente si ottiene
$\frac{T(t)^2}{t^2} > \frac{\frac{1}{2}\phi''(0) - \epsilon}{\frac{1}{2}\Phi''(0) + \epsilon}$.
In conclusione, hai che
$T(t)^2 = C^2 t^2 + \rho(t) t^2$, con $\rho(t)\to 0$ per $t\to 0$.
Dalle ipotesi complete (per inciso, credo debba essere $\phi''(0), \Phi''(0) > 0$ e non $<0$) si ha che, per ogni $\epsilon > 0$, esiste $\delta > 0$ t.c.
$(\frac{1}{2}\phi''(0) - \epsilon) t^2 < \phi(t) < (\frac{1}{2}\phi''(0) + \epsilon) t^2$,
$(\frac{1}{2}\Phi''(0) - \epsilon) T^2 < \Phi(T) < (\frac{1}{2}\phi''(0) + \epsilon) T^2$,
per ogni $t, T \in [0, \delta]$.
In particolare
$(\frac{1}{2}\Phi''(0) - \epsilon) T(t)^2 < \Phi(T(t)) = \phi(t) < (\frac{1}{2}\phi''(0) + \epsilon) t^2$,
da cui
$\frac{T(t)^2}{t^2} < \frac{\frac{1}{2}\phi''(0) + \epsilon}{\frac{1}{2}\Phi''(0) - \epsilon}$.
Analogamente si ottiene
$\frac{T(t)^2}{t^2} > \frac{\frac{1}{2}\phi''(0) - \epsilon}{\frac{1}{2}\Phi''(0) + \epsilon}$.
In conclusione, hai che
$T(t)^2 = C^2 t^2 + \rho(t) t^2$, con $\rho(t)\to 0$ per $t\to 0$.
Sì, Rigel, hai ragione.
Mi ero perso un meno per la strada in un conto abbozzato: ovviamente [tex]$\phi^{\prime \prime} (0),\Phi^{\prime \prime} (0)>0$[/tex].
Il ragionamento sull'ordine di infinitesimo è giusto, quindi.
Ora, ho che [tex]$T(t)= C\ t+ \text{o}(t)$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex], quindi localmente intorno a [tex]$0$[/tex] posso affermare che [tex]$T(t)\geq t$[/tex]/[tex]$T(t)\leq t$[/tex] a seconda che [tex]$C> 1$[/tex]/[tex]$C< 1$[/tex].
Ora il problema è: è possibile riuscire a riportare "in grande", ossia su tutto l'intervallo in cui esiste [tex]$T(t)$[/tex], questa maggiorazione? E, se sì, si trova un modo per farlo?
Ad esempio, basterebbe andare a stimare il deficit [tex]$T(t)-t=(C-1)t +\text{o} (t)$[/tex] e mostrare che è nonnegativo/nonpositivo; per fare ciò dovrebbe bastare mostrare che il termine d'ordine superiore non diventa mai più grande di [tex]$|C-1| t$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex].
Oppure si potrebbe fare per assurdo: suppongo che c'è un [tex]$[t_0,t_1]$[/tex] in cui [tex]$T(t)$[/tex] sta nella relazione opposta con [tex]$t$[/tex] e cerco di trarre una contraddizione con le proprietà di [tex]$T$[/tex], [tex]$\phi$[/tex] o [tex]$\Phi$[/tex].
Oppure devo passare dalla EDO... Però non mi viene in mente un modo decente di procedere.
P.S.: Grazie di tutto, Rigel.
Mi ero perso un meno per la strada in un conto abbozzato: ovviamente [tex]$\phi^{\prime \prime} (0),\Phi^{\prime \prime} (0)>0$[/tex].
Il ragionamento sull'ordine di infinitesimo è giusto, quindi.
Ora, ho che [tex]$T(t)= C\ t+ \text{o}(t)$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex], quindi localmente intorno a [tex]$0$[/tex] posso affermare che [tex]$T(t)\geq t$[/tex]/[tex]$T(t)\leq t$[/tex] a seconda che [tex]$C> 1$[/tex]/[tex]$C< 1$[/tex].
Ora il problema è: è possibile riuscire a riportare "in grande", ossia su tutto l'intervallo in cui esiste [tex]$T(t)$[/tex], questa maggiorazione? E, se sì, si trova un modo per farlo?
Ad esempio, basterebbe andare a stimare il deficit [tex]$T(t)-t=(C-1)t +\text{o} (t)$[/tex] e mostrare che è nonnegativo/nonpositivo; per fare ciò dovrebbe bastare mostrare che il termine d'ordine superiore non diventa mai più grande di [tex]$|C-1| t$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex].
Oppure si potrebbe fare per assurdo: suppongo che c'è un [tex]$[t_0,t_1]$[/tex] in cui [tex]$T(t)$[/tex] sta nella relazione opposta con [tex]$t$[/tex] e cerco di trarre una contraddizione con le proprietà di [tex]$T$[/tex], [tex]$\phi$[/tex] o [tex]$\Phi$[/tex].
Oppure devo passare dalla EDO... Però non mi viene in mente un modo decente di procedere.
P.S.: Grazie di tutto, Rigel.
Senza informazioni su $\phi$ e $\Phi$ è difficile stabilire come procedere.
Si può eventualmente usare qualche metodo topologico (punti fissi, grado topologico, etc), facendo vedere ad esempio che l'equazione $\phi(s) = \Phi(s)$ non ha soluzioni in $(0,1)$.
Edit: ups, forse l'ho sparata troppo grossa con i metodi topologici, si tratta pur sempre di funzioni di una sola variabile.
Si può eventualmente usare qualche metodo topologico (punti fissi, grado topologico, etc), facendo vedere ad esempio che l'equazione $\phi(s) = \Phi(s)$ non ha soluzioni in $(0,1)$.
Edit: ups, forse l'ho sparata troppo grossa con i metodi topologici, si tratta pur sempre di funzioni di una sola variabile.
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