Proprietà di Darboux
Salve a tutti, studiando la continuità delle funzioni, mi è venuto questo dubbio :
Consideriamo la funzione $ f(x)={ ( x^2sin(1/x) if x!= 0 ),(( 0 if x=0)):} $
La funzione $f'(x)$ , possiede una discontinuità di seconda specie ma nonostante tutto gode della proprietà dei valori intermedi .Questo significa che se una funzione possiede la proprietà dei valori intermedi, non è detto che essa sia continua .
A questo punto mi chiedo, ma $f(x)$ è integrabile?esiste una primitiva ?
Lo stesso discorso vale per la funzione parte intera : $y=[x]$, essa però possiede a differenza della prima, delle discontinuità di tipo salto dunque dovrebbe essere integrabili "alla Riemann" anche se non è possibile trovare la primitiva?
P.S.
Perché le funzioni derivate non possono avere punti di discontinuità di tipo salto ma solo di seconda e terza specie ?
Consideriamo la funzione $ f(x)={ ( x^2sin(1/x) if x!= 0 ),(( 0 if x=0)):} $
La funzione $f'(x)$ , possiede una discontinuità di seconda specie ma nonostante tutto gode della proprietà dei valori intermedi .Questo significa che se una funzione possiede la proprietà dei valori intermedi, non è detto che essa sia continua .
A questo punto mi chiedo, ma $f(x)$ è integrabile?esiste una primitiva ?
Lo stesso discorso vale per la funzione parte intera : $y=[x]$, essa però possiede a differenza della prima, delle discontinuità di tipo salto dunque dovrebbe essere integrabili "alla Riemann" anche se non è possibile trovare la primitiva?
P.S.
Perché le funzioni derivate non possono avere punti di discontinuità di tipo salto ma solo di seconda e terza specie ?
Risposte
Qualcuno può aiutarmi?
Stai facendo un minestrone, un sacco di domande disparate, come si fa a rispondere? Comunque, tutte le funzioni continue sono integrabili, come dovresti sapere. Quella di questo thread è una funzione continua.
Ciao Salvy.
Se ho capito la tua domanda, ti stai chiedendo quando una funzione discontinua è integrabile secondo Riemann.
L'integrabilità non dipende dal tipo di discontinuità, ma dal 'numero' di punti di discontinuità.
C'è un teorema che dice che una funzione (limitata) è integrabile secondo Riemann quando il suo insieme di punti di discontinuità è al più numerabile (detto in termini di teoria della misura, quando l'insieme dei punti in cui la funzione è discontinua ha misura nulla).
E' un teorema che in genere non si fa a Analisi I e II, si fa più in là, in genere in un corso più avanzato, di solito Analisi Reale, quando si fa teoria della misura. Nel caso avessi la curiosità di vedere questo teorema puoi ad esempio guardare Royden, Real Analysis.
Per avere funzioni non integrabili secondo Riemann bisogna andare su funzioni un po' 'strane'.
L'esempio classico è la funzione di Dirichlet, che vale $1$ sui razionali e $0$ su gli irrazionali.
Ha un insieme più che numerabile di punti di discontinuità.
Sulle discontinuità della funzione derivata non so che dirti.
Se ho capito la tua domanda, ti stai chiedendo quando una funzione discontinua è integrabile secondo Riemann.
L'integrabilità non dipende dal tipo di discontinuità, ma dal 'numero' di punti di discontinuità.
C'è un teorema che dice che una funzione (limitata) è integrabile secondo Riemann quando il suo insieme di punti di discontinuità è al più numerabile (detto in termini di teoria della misura, quando l'insieme dei punti in cui la funzione è discontinua ha misura nulla).
E' un teorema che in genere non si fa a Analisi I e II, si fa più in là, in genere in un corso più avanzato, di solito Analisi Reale, quando si fa teoria della misura. Nel caso avessi la curiosità di vedere questo teorema puoi ad esempio guardare Royden, Real Analysis.
Per avere funzioni non integrabili secondo Riemann bisogna andare su funzioni un po' 'strane'.
L'esempio classico è la funzione di Dirichlet, che vale $1$ sui razionali e $0$ su gli irrazionali.
Ha un insieme più che numerabile di punti di discontinuità.
Sulle discontinuità della funzione derivata non so che dirti.
p.s. Che è la proprietà di Darboux?
Le derivate comunque possono avere discontinuità solo di terza specie (ovvero per cui non esistono i limiti destro o sinistro), e di nessun altro tipo (eliminabile, salto o seconda specie, anche se qua dipende un po' dalla terminologia che si usa), come conseguenza del teorema di De L'Hopital.
"gabriella127":
[...] C'è un teorema che dice che una funzione (limitata) è integrabile secondo Riemann quando il suo insieme di punti di discontinuità è al più numerabile (detto in termini di teoria della misura, quando l'insieme dei punti in cui la funzione è discontinua ha misura nulla). [...]
Questo è impreciso, ci sono funzioni Riemann-integrabili discontinue su insiemi non numerabili (per esempio la funzione caratteristica dell'insieme di Cantor). Quello che ci dice Lebesgue è che una funzione \( f: [a,b] \to \mathbb{R}\) è R-integrabile se e solo se è limitata e continua quasi ovunque.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Quello che ci dice Lebesgue è che una funzione \( f: [a,b] \to \mathbb{R}\) è R-integrabile se e solo se è limitata e continua quasi ovunque.
Verissimo. Si tratta, comunque, di una cosa sorprendentemente inutile. Su queste cose si insiste tanto solo per motivi didattici e tradizionali, in realtà non sono poi così rilevanti. Non c'è da distinguere tanto tra integrale di Riemann e di Lebesgue.
Per quanto riguarda $f(x)=[x]$, direi che basta ricordare che viene integrata a tratti.[/quote]
Ok,poiché possiede una discontinuità di tipo salto , come conseguenza del teorema di Darboux, la funzione non può essere la derivata di un'altra, per cui non ammette primitiva.Dunque, è sicuramente integrabile , ma non ammette primitiva.Va bene cosi'?
P.S. grazie a tutti per l'aiuto
Ok,poiché possiede una discontinuità di tipo salto , come conseguenza del teorema di Darboux, la funzione non può essere la derivata di un'altra, per cui non ammette primitiva.Dunque, è sicuramente integrabile , ma non ammette primitiva.Va bene cosi'?
P.S. grazie a tutti per l'aiuto
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[quote="gabriella127"][...] C'è un teorema che dice che una funzione (limitata) è integrabile secondo Riemann quando il suo insieme di punti di discontinuità è al più numerabile (detto in termini di teoria della misura, quando l'insieme dei punti in cui la funzione è discontinua ha misura nulla). [...]
Questo è impreciso, ci sono funzioni Riemann-integrabili discontinue su insiemi non numerabili (per esempio la funzione caratteristica dell'insieme di Cantor). Quello che ci dice Lebesgue è che una funzione \( f: [a,b] \to \mathbb{R}\) è R-integrabile se e solo se è limitata e continua quasi ovunque.[/quote]
E che differenza c'è? Quando l'insieme dei punti di discontinuità ha misura nulla. Forse non avevo esplicitato tutte le ipotesi, non avevo detto specificato che era su un intervallo chiuso e limitato? (Lo davo per implicito).
Copio da Royden, Real analysis (4° edizione, p. 104):
TEOREMA (Lebesgue) Sia $f$ una funzione limitata su l'intervallo chiuso e limitato $[a,b]$. Allora è integrabile secondo Riemann su $[a,b]$ se e solo se l'insieme dei punti in $[a,b]$ in cui $f$ non è continua ha misura zero.
Perché non provi a calcolarla esplicitamente, questa "non-primitiva" di \([x]\)? Così capisci veramente cosa succede, invece di dover fare affidamento sull'opinione di gente del forum, che dimenticherai nel giro di una settimana? Chi fa da sé, fa per tre.
Devi calcolare
\[
\int_0^x [y]\, dy.\]
E' un ottimo esercizio.
Devi calcolare
\[
\int_0^x [y]\, dy.\]
E' un ottimo esercizio.
"gabriella127":
[...] E che differenza c'è? Quando l'insieme dei punti di discontinuità ha misura nulla. Forse non avevo esplicitato tutte le ipotesi, non avevo detto specificato che era su un intervallo chiuso e limitato? (Lo davo per implicito).
Copio da Royden, Real analysis (4° edizione, p. 104):
TEOREMA (Lebesgue) Sia $f$ una funzione limitata su l'intervallo chiuso e limitato $[a,b]$. Allora è integrabile secondo Riemann su $[a,b]$ se e solo se l'insieme dei punti in $[a,b]$ in cui $f$ non è continua ha misura zero.
"gabriella127":
[...] C'è un teorema che dice che una funzione (limitata) è integrabile secondo Riemann quando il suo insieme di punti di discontinuità è al più numerabile (detto in termini di teoria della misura, quando l'insieme dei punti in cui la funzione è discontinua ha misura nulla). [...]
In rosso la parte a cui mi riferisco. Letto così mi sembra(va) una confusione tra cardinalità e misura.
Assolutamente nessuna confusione. Un insieme numerabile di punti (tipo i razionali), o finito, ha misura nulla.
Ho scritto così (ma l'ho sentito esporre anche così il teorema) perché Salvy è presumibilmente del primo anno e se gli dici 'misura nulla' o 'quasi ovunque' non capisce, perché sono cose che non ha fatto, se dico 'al più numerabile' forse si orienta. E se volesse avere informazioni più precise l'ho rimandato eventualmente a Royden, anche se è un libro avanzato per uno studente di primo anno.
Ho detto che è integrabile secondo Riemann se ha al più un insieme numerabile di punti di discontinuità, non ho detto che è condizione necessaria.
Hai ragione a dire che una funzione può essere integrabile anche se discontinua su un insieme non numerabile, purché abbia misura nulla, come nel caso dell''insieme di Cantor. Ma è un esempio 'patologico', è un 'mostro', che non ha grande utilità per una persona di primo anno che non ha fatto cose più avanzate di analisi reale.
(Questi 'mostriciattoli-controsempi' (senza offesa) sono sorti nella seconda metà dell'ottocento, quando si sentiva l'esigenza di una ulteriore rigorizzazione dell'analisi, per chiarire concetti nuovi o per dare maggiore rigore a concetti già noti).
Ho scritto così (ma l'ho sentito esporre anche così il teorema) perché Salvy è presumibilmente del primo anno e se gli dici 'misura nulla' o 'quasi ovunque' non capisce, perché sono cose che non ha fatto, se dico 'al più numerabile' forse si orienta. E se volesse avere informazioni più precise l'ho rimandato eventualmente a Royden, anche se è un libro avanzato per uno studente di primo anno.
Ho detto che è integrabile secondo Riemann se ha al più un insieme numerabile di punti di discontinuità, non ho detto che è condizione necessaria.
Hai ragione a dire che una funzione può essere integrabile anche se discontinua su un insieme non numerabile, purché abbia misura nulla, come nel caso dell''insieme di Cantor. Ma è un esempio 'patologico', è un 'mostro', che non ha grande utilità per una persona di primo anno che non ha fatto cose più avanzate di analisi reale.
(Questi 'mostriciattoli-controsempi' (senza offesa) sono sorti nella seconda metà dell'ottocento, quando si sentiva l'esigenza di una ulteriore rigorizzazione dell'analisi, per chiarire concetti nuovi o per dare maggiore rigore a concetti già noti).
"dissonance":
Perché non provi a calcolarla esplicitamente, questa "non-primitiva" di \([x]\)? Così capisci veramente cosa succede, invece di dover fare affidamento sull'opinione di gente del forum, che dimenticherai nel giro di una settimana? Chi fa da sé, fa per tre.
Devi calcolare
\[
\int_0^x [y]\, dy.\]
E' un ottimo esercizio.
Non vorrei dire una scemenza : $\int_0^x [y]\ dy=[x]^2/2$
No, è sbagliato, ma fai bene a cimentarti. Pensa graficamente: la funzione \(y\mapsto [y]\) è costante a tratti, integrandola dovrai ottenere una funzione con pendenza costante a tratti...
"dissonance":
No, è sbagliato, ma fai bene a cimentarti. Pensa graficamente: la funzione \(y\mapsto [y]\) è costante a tratti, integrandola dovrai ottenere una funzione con pendenza costante a tratti...
Mi viene da pensare alle "funzioni" che ho studiato per l'esame di probabilità, o meglio al coefficiente binomiale
"dissonance":
No, è sbagliato, ma fai bene a cimentarti. Pensa graficamente: la funzione \(y\mapsto [y]\) è costante a tratti, integrandola dovrai ottenere una funzione con pendenza costante a tratti...
Non mi viene nessuna idea... Ho capito come si muove "l'area sottesa" ma non riesco a trovare una primitiva che descriva quest'ultima
Ecco il risultato: sia \(u(x)=\int_0^x [y]\, dy\), allora
\[
u(x)=\begin{cases}
x, & x\in [0, 1), \\
2x-1, & x\in [1, 2), \\
3x-3, & x\in [2, 3), \\
\vdots
\end{cases}
\]
e non ci preoccupiamo di cosa succede per \(x<0\)
. Il grafico di questa funzione è
[asvg]axes(xmin = 0, xmax = 2.1, ymin = 0, ymax = 3.1);
path([[0, 0], [1, 1], [2,3]]);[/asvg]
(non so se si vede, non riesco a fare funzionare questo cavolo di asvg). Come vedi, nei punti \(x=1, x=2, x=3, \ldots\) il grafico ha un punto angoloso, e quindi in tali punti \(u\) NON è derivabile. Ecco perché non è una vera primitiva della funzione parte intera; una vera primitiva è derivabile in tutto il suo dominio e la sua derivata coincide ovunque con la funzione assegnata.
\[
u(x)=\begin{cases}
x, & x\in [0, 1), \\
2x-1, & x\in [1, 2), \\
3x-3, & x\in [2, 3), \\
\vdots
\end{cases}
\]
e non ci preoccupiamo di cosa succede per \(x<0\)
. Il grafico di questa funzione è[asvg]axes(xmin = 0, xmax = 2.1, ymin = 0, ymax = 3.1);
path([[0, 0], [1, 1], [2,3]]);[/asvg]
(non so se si vede, non riesco a fare funzionare questo cavolo di asvg). Come vedi, nei punti \(x=1, x=2, x=3, \ldots\) il grafico ha un punto angoloso, e quindi in tali punti \(u\) NON è derivabile. Ecco perché non è una vera primitiva della funzione parte intera; una vera primitiva è derivabile in tutto il suo dominio e la sua derivata coincide ovunque con la funzione assegnata.
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