Proprietà di convergenza funzioni/successioni

[anto_zoolander]

We
Stavo pensando a una generalizzazione di una 'proprietà' che aveva una successione che ho usato per dimostrare la tesi in un esercizio.

sia $f:RR^(+)->RR$ una funzione e sia $f_(|NN):NN->RR$ la funzione precedente ristretta ai numeri naturali, allora

$existsl inRR:lim_(x->+infty)f(x)=l <=> existslinRR:lim_(n->+infty)f(n)=l$

considerazioni preliminari

La continuità di $f$ non mi sembra una condizione necessaria.
Su $RR$ (fino a dove arrivano le mie attuali conoscenze) non posso dire che tutte le successioni possono essere considerate come restrizione di una funzione ai naturali, come per esempio la successione:

$a_n=n!$

Quindi per adesso considero tutte le successioni che possono essere considerate come restrizione di funzioni

Ovvero $A={a:NN->RR|existsf:RR^(+)->RR$ $t.c.$ $f(n)=a_n foralln inNN}$

Di fatto $A$ è non vuoto,
$a_n=n$ appartiene ad $A$ poiché esiste $f(x)=x, forallx inRR^+$ tale che $f(n)=a_n, forall ninNN$

In realtà per l'implicazione $=>$ potrei farne a meno poiché una volta definita la funzione mi basta considerare $f(n)$

se $f$ converge a $l$ allora,

$forallepsilon>0existsc inRR^+:|f(x)-l|c$
In corrispondenza di $c$ esisterá un intero $m>c>0$ tale per cui,

$forallepsilon>0existsm inNN:|f(n)-l|m$


Pongo $f(n)=a_n foralln inNN$ per simpatia. Viceversa,

Se $a_n$ converge a $l$ allora,

$forallepsilon>0existsm inNN:|a_n-l|m$

Se ora per assurdo esistesse un $epsilon>0$ tale per cui comunque preso $x inRR^+$ si avesse $|f(x)-l|geqepsilon$ allora avremmo una contraddizione ogni qualvolta $x=n>m$

E con questo si conclude.

per esempio per studiare $lim_(x->+infty)p^x$ con $p in[0,1)$
Potrei mostrare che posto $f(n)=p^n$ ho che,

$lim_(n->+infty)p^(n+1)/p^n=p$ dunque $f(n)->0$ per tanto $f(x)->0$

[Seneca1]

Tutte le successioni reali $( a_n )_n$ possono essere riguardate come restrizioni di una funzione $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ (regolare quanto vuoi). Basti banalmente pensare alla funzione affine a tratti il cui grafico è ottenuto congiungendo i punti $(n, a_n)$ (una poligonale).

Non mi è molto chiaro il discorso che fai. Infatti devi figurarti che a monte hai una funzione $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ da cui ottieni, mediante restrizione, una successione; le considerazioni su come si ottiene la funzione che ristretta ti fornisce una certa successione non servono...

[anto_zoolander]

Grazie Seneca.
Diciamo che ho fatto queste premesse per mantenermi coerente con le mie conoscenze attuali, seppur siamo risultate inutili a quanto pare.

Per il resto la dimostrazione è corretta?

[anonymous_0b37e9]

"anto_zoolander":
$existsl inRR:lim_(x->+infty)f(x)=l <=> existslinRR:lim_(n->+infty)f(n)=l$

Se ho capito bene, hai cercato di dimostrare anche la seguente implicazione, manifestamente falsa:

$[existslinRR:lim_(n->+infty)f(n)=l] => [existsl inRR:lim_(x->+infty)f(x)=l]$

Per rendersene conto basta definire $[AA n in NN : f(n)=0]$ e far passare per quei punti il grafico di una funzione che non ha limite per x che tende a più infinito.

"anto_zoolander":
Se ora per assurdo esistesse un $epsilon>0$ tale per cui comunque preso $x inRR^+$ si avesse ...

Dovresti riguardare come si formalizza la negazione dell'esistenza di quel limite:

$[EE \epsilon gt 0 : AA barx gt 0 EE x gt barx : |f(x)-l| gt= \epsilon]$

[anto_zoolander]

Ok la rivedo, e rivedrò anche la dimostrazione, ma non penso sia falsa.
Io per $f(x)$ intendo non la funzione per passa 'soltanto' per i punti di ascissa per cui passa $f(n)$ ma proprio la successione che si ottiene prolungandone il dominio a $RR^+$

Per esempio se $f(n)=tan(n)/n$ allora $f(x)=tanx/x$
È chiaro che se non considero questo trovo mille controesempi.

Tipo $a_n=0$ e $f:={((a_n) if x =n),(1 if x nen):}$

[anonymous_0b37e9]

"anto_zoolander":
... ma non penso sia falsa.

Come tu possa ancora sostenerlo non è dato sapere. Ad ogni modo, basta prendere la successione $[f(n)=sin\pin]$:

$[lim_(n->+oo)f(n)=lim_(n->+oo)sin\pin=0] ^^ [not EE lim_(x->+oo)f(x)=lim_(x->+oo)sin\pix]$

[anto_zoolander]

Più che sostenerlo, lo pensavo. Magari sarà vero sotto qualche ipotesi più restrittiva
Comunque grazie mille

[anonymous_0b37e9]

Ad ogni modo, vale sempre la pena mettersi alla prova.

[gio73]

"anonymous_0b37e9":Ad ogni modo, vale sempre la pena mettersi alla prova.

I couldn't agree more