Proprietà di Archimede

[amel3]

Beh è ovvio:
"se la proprietà di Archimede fosse falsa" significa:
"esiste un $x in RR$ per cui $forall n in NN$, $n cioè $NN$ sarebbe limitato superiormente.


Non bisogna sempre essere così sospettosi..., un po' di convinzione ci vuole

[fu^2]

prorpietà archimedea:

dati x,y $inRR$ esiste $n\in\NN$ tc $nx>y$

per assurdo ammettiamo che esiste un h fissato tc la proprietà non vale più, allora si ha che nx
allora si avrebbe che $n assurdo!

[amel3]

"fu^2":proprietà archimedea:

dati x,y $inRR$ esiste $n\in\NN$ tc $nx>y$

per assurdo ammettiamo che esiste un h fissato tc la proprietà non vale più, allora si ha che nx allora si avrebbe che $n assurdo!

Già, è equivalente.

[curwen]

Ciao,

scusate se riapro questo thread, ma sono incappato nella stessa questione e non sono convinto della risposta.
Il testo, infatti, afferma che se la proprietà di Archimede fosse falsa, l'insieme dei numeri realisarebbe limitato superiormente ("...e quindi, per l'assioma di completezza, dotato di estremo superiore..."), invece, come ha fatto notare Sergio, al massimo sarebbe limitato superiormente l'insieme dei numeri naturali. Solo che, se non dimostro che è R l'insieme limitato superiormente, non posso usare l'assioma di completezza, che non è soddisfatto in N, e quindi non posso andare avanti con la dimostrazione!
Quindi la domanda è: perché, se la proprietà di Archimede fosse falsa, R sarebbe limitato superiormente? A me pare proprio di no!

[Principe2]

E' possibile che il testo contenga una svista. La risposta e' gia' stata scritta sopra: se Archimede non vale in $\mathbb R$, allora $\mathbb N$ sarebbe limitato. Questo e' assurdo e quindi vale in $\mathbb R$.

[curwen]

Grazie! Dalla risposta precedente "non bisogna essere sempre così sospettosi" pensavo che il testo non contenesse sviste, per cui non sapevo spiegarmi la prima frase della dimostrazione! Ora mi torna tutto.

[Pigreco2016]

Anche io leggendo il Marcellini Sbordone (Elementi di Analisi Matematica 1), studiando la proprietà di Archimede, ho avuto i medesimi dubbi e propongo questa mia correzione. Nella dimostrazione, ponendo "naturali" al posto di "reali" (la prima volta che leggiamo "reali" e basta) (la mia correzione termina qua, cioè sostituisco una parola e basta; il restante è solo una spiegazione dei passaggi di una parte della dimostrazione restante) e applicando l'assioma di completezza su $\mathbb{R}$ (che implica l'esistenza dell'estremo superiore per i sottoinsiemi limitati superiormente su $\mathbb{R}$), deduciamo che l'insieme $\mathbb{N}$ (visto come sottoinsieme di $\mathbb{R}$) è dotato di estremo superiore appartenente a $\mathbb{R}$. Per il resto mi sembra che sia apposto la dimostrazione.

[CaMpIoN]

Potrebbe essere questo oppure ho capito male il tutto?: magari il testo ragiona per assurdo, cioè considerando la tesi errata si dovrebbe arriva ad un ipotesi sbagliata. Un ipotesi potrebbe essere il fatto che $\mathbb{R}$ sia illimitato superiormente, per assurdo dice che è limitato superiormente e quindi la tesi errata si dimostra non vera.