Proprietà derivate destra e sinistra

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Rispoverando sempre varie proprietà di interesse analitico, mi chiedevo e mi sono dato una risposta, di cui chiedo conferma o smentita, circa la generalizzabilità di alcune elementari proprietà delle derivate. Sono giunto alla conclusione che se una funzione è derivabile da destra o sinistra in un punto allora è continua da destra o sinistra in tale punto, molto banalmente (e poi magari do i numeri), e anche che le proprietà\[(f\pm g)'(x)=f'(x)\pm g'(x),\quad (fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]\[g(x)\ne 0\Rightarrow (f/g)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\]valgono anche per derivate destre o sinistre se si intendono funzioni $f$ e $g$ derivabili da destra o sinistra.

Per il caso un po' più delicato\[(g\circ f)'(x)=f'(x)g'(f(x))\]direi che valga sempre anche se si intende $f$ derivabile da destra o sinistra per derivate rispettivamente destre o sinistre di \(g\circ f\) purché $g$ sia derivabile in senso stretto in $x$.
Se invece $g$ fosse derivabile solo da destra o da sinistra le cose si complicherebbero nel caso dell'ultima uguaglianza, ma mi pare che essa vale se $f:[a,b]\to[c,d]$ è derivabile, da destra e da sinistra negli estremi, in $[a,b]$ e $g:[c,d]\to\mathbb{R}$ lo è analogamente in $[c,d]$.

Tutto corretto od ho le travegole?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[kobeilprofeta]

Scrivi i passaggi che hai seguito

[dissonance]

Beh chiaramente se in $g\circ f$ la funzione più esterna $g$ è derivabile solo da destra (o solo da sinistra) allora ci vuole qualche proprietà di monotonia di $f$. Un esempio cretino: se $g$ è derivabile da destra in $0$ e $f(x)=-x$ allora $g \circ f$ è derivabile da sinistra. Un altro esempio: se $f(x)=x^2\sin 1/x$ allora $g\circ f$ potrebbe non essere derivabile.

E cosi' via.

[DavideGenova1]

"kobeilprofeta":Scrivi i passaggi che hai seguito

Ho di fatto riletto le dimostrazioni, che credo essere standard, che trovo nel mio testo di analisi, il Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, cioè:

1) Per \((f+ g)'(x^{\pm})=f'(x^{\pm})+ g'(x^{\pm})\):
\[\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))}{h}=\lim_{h\to 0^{\pm}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=f(x^{\pm})+g(x^{\pm})\]
2) Per \((fg)'(x^{\pm})=f'(x^{\pm})g(x)+f(x)g'(x^{\pm})\):
\[\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\]\[=\lim_{h\to 0^{\pm}}\Big(\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)}{h}+\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\Big)\]\[=\lim_{h\to 0^{\pm}}\Big(f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\Big)=f'(x^{\pm})g(x)+f(x)g'(x^{\pm})\]
3) Per \(g(x)\ne 0\Rightarrow (f/g)'(x^{\pm})\)$=\frac{f'(x^{\pm})g(x)-f(x)g'(x^{\pm})}{g(x)^2}$ ho seguito questa strada:\[\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{(f/g)(x+h)-(f/g)(x)}{h}=\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)h}\]\[=\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)h}\]\[=\lim_{h\to 0^{\pm}}\Big( \frac{1}{g(x+h)g(x)}\Big(g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \Big) \Big)\]\[=\frac{f'(x^{\pm})g(x)-f(x)g'(x^{\pm})}{g(x)^2}\]

4) Per \( (g\circ f)'(x)=f'(x)g'(f(x)) \) con $ f:[a,b]\to[c,d] $ e $ g:[c,d]\to\mathbb{R} $ derivabili in tutto il proprio dominio, intendendo da destra o da sinistra negli estremi (ma mi pare, come dico sotto, che tale dimostrazione funzioni anche per \(f'(x^{\pm})\) esistente anche in un solo punto del dominio di $f$), seguo sempre la dimostrazione presentata dal Conti-Ferrario-Terracini-Verzini per il caso della derivabilità in senso stretto osservando che per ogni $z\in[c,d]$ esiste finito il limite\[\lim_{k\to 0^{\pm}}\frac{g(z+k)-g(z)}{k}=g'(z^{\pm})\]e perciò la funzione definita, per $k$ in un intervallo $I$ contenente 0 sufficientemente piccolo (in particolare lo si può scegliere di tipo \([0,d-c]\) se $z=c$ e \([c-d,0]\) se $z=d$), da\[R(k) = \begin{cases}\frac{g(z+k)-g(z)}{k}-g'(z)&k\ne 0\\0&k=0\end{cases}\]è continua in $k=0$, intendendo continua da destra -e con \(g'(z)=g'(c^{+})\)- se $z=c$, e continua da sinistra -e con \(g'(z)=g'(d^{-})\)- se $z=d$. Si ha inoltre che\[\forall z\in[c,d]\forall k\in I\quad g(z+k)-g(z)=k(g'(z^{\pm}) +R(k)).\]Ponendo \(f(x)=z\) e prendendo $h$ sufficientemente piccolo affinché si abbia $x+h\in[a,b]$ e quindi ponendo \(f(x+h)-f(x)=k\in I\), il che è reso possibile dal fatto che \(f([a,b])\subset[c,d]\), si ha, sempre intendendo \(g'(f(x))=g'(c^{+})\) se \(f(x)=c\) e \(g'(f(x))=g'(d^{-})\) se \(f(x)=d\), che\[\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h}=\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{(f(x+h)-f(x))(g'(f(x))+R(f(x+h)-f(x)))}{h}\]\[=\lim_{h\to 0^{\pm}} (g'(f(x))+R(f(x+h)-f(x)) )\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0^{\pm}} g'(f(x)) \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]\[=g'(f(x))f'(x)\]dove si è tenuto conto della continuità di \(R(k)\) in $k=0$ e della funzione argomento di $R$ in $h$ e, naturalmente, intendendo \(f'(x)=f'(a^{+})\) se $x=a$, \(f'(x)=f'(b^{-})\) se $x=b$, \(g'(f(x))=g'(c^{+})\) se \(f(x)=c\) e \(g'(f(x))=g'(d^{-})\) se \(f(x)=d\).
L'assunto mi pare estendibile parola per parola anche a $f$ derivabile da destra e/o da sinistra in un solo punto piuttosto che in un intervallo perché non ho fatto assunzioni sull'esistenza del limite $\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h}$ in punti diversi da $x$.

"dissonance":Beh chiaramente se in $ g\circ f $ la funzione più esterna $ g $ è derivabile solo da destra (o solo da sinistra) allora ci vuole qualche proprietà di monotonia di $ f $.

Limitandosi al caso $g$ derivabile in $[c,d]$ di qui sopra, piuttosto che alla derivabilità di $g$ in un solo punto, che cosa ne pensi?

Mi sembra che tali proprietà siano necessarie per giustificare analoghe proprietà di funzioni complesse di variabile reale che riporta il mio testo di analisi complessa (teoremi 5.23 e 5.24, tra cui oltretutto direi che il 5.24 valga tranquillamente, per le proposizioni (1), (2) e (3) qui sopra, anche nel caso della derivabilità, da destra o da sinistra o in senso stretto che sia, delle due funzioni in un solo punto).
$\infty$ grazie a tutti e due!!!