Proprietà dell'integrale di una funzione complessa
Sia $f\inL^1(RR^n,CC)$.
Voglio dimostrare che $|\int_(RR^n)f(x)dx|<=\int_RR^n|f(x)|dx$.
Mi viene suggerito di ruotare il numero complesso $f(x)$ fino a portarlo sul semiasse positivo reale (ovvero di moltiplicarlo per $e^(itheta)$ che ha norma 1).
Avevo dunque pensato a qualcosa del tipo
$|\int_(RR^n)f(x)dx|=|e^(itheta)||\int_(RR^n)f(x)dx|=$
$=|\int_(RR^n)e^(itheta)f(x)dx|<=\int_(RR^n)|e^(itheta)f(x)|dx=$
$=\int_(RR^n)|e^(itheta)||f(x)|dx=\int_(RR^n)|f(x)|dx$
Volendo essere più precisi sarebbe meglio indicare l'angolo con $theta(x)$ in quanto dipende dall'immagine di $x$ attraverso $f$ giusto?
Per il resto può andare?
Voglio dimostrare che $|\int_(RR^n)f(x)dx|<=\int_RR^n|f(x)|dx$.
Mi viene suggerito di ruotare il numero complesso $f(x)$ fino a portarlo sul semiasse positivo reale (ovvero di moltiplicarlo per $e^(itheta)$ che ha norma 1).
Avevo dunque pensato a qualcosa del tipo
$|\int_(RR^n)f(x)dx|=|e^(itheta)||\int_(RR^n)f(x)dx|=$
$=|\int_(RR^n)e^(itheta)f(x)dx|<=\int_(RR^n)|e^(itheta)f(x)|dx=$
$=\int_(RR^n)|e^(itheta)||f(x)|dx=\int_(RR^n)|f(x)|dx$
Volendo essere più precisi sarebbe meglio indicare l'angolo con $theta(x)$ in quanto dipende dall'immagine di $x$ attraverso $f$ giusto?
Per il resto può andare?
Risposte
Ho qualche problema a visualizzare il tuo messaggio nel link che hai postato: precisamente vedo le formule non interpretate e buona parte del testo interpretato...può essere dovuto ad un problema di formattazione o devo aggiornare qualcosa io?
Non è un problema tuo, quel messaggio è stato scritto usando un linguaggio che poi è diventato obsoleto ed è stato sostituito da uno più recente. Quando vedi una cosa del genere usa il pulsante "segnala" (il triangolino col punto esclamativo) per segnalare il problema ai moderatori.
Comunque, questo esercizio è una cavolata eh. E' molto semplice, ti devi solo ricordare di prendere come \(\theta\) un numero complesso di modulo uno e tale che
\[
\theta \int f\, dx = \left\lvert \int f\, dx\right\rvert.\]
Questo numero si chiama a volte "segno complesso", perché nel caso reale corrisponde alla "funzione segno" che vale 1 se l'argomento è positivo e -1 se è negativo. Una volta fissato il segno complesso usi la linearità dell'integrale e lo porti dentro. Eccetera eccetera.
\[
\theta \int f\, dx = \left\lvert \int f\, dx\right\rvert.\]
Questo numero si chiama a volte "segno complesso", perché nel caso reale corrisponde alla "funzione segno" che vale 1 se l'argomento è positivo e -1 se è negativo. Una volta fissato il segno complesso usi la linearità dell'integrale e lo porti dentro. Eccetera eccetera.
Avevo interpretato male il ruolo di $theta$, pensavo che ruotasse il vettore $f(x)$ invece mi dici che deve ruotare il vettore $\int_(RR^n)f(x)dx$ dunque è giusto che $theta\inCC$ non dipenda da $x$.
A questo punto ho che, preso $theta\inCC$ tale che $e^(itheta)\int_(RR^n)f(x)dx\inRR$, si ha
$|\int_(RR^n)f(x)dx|=e^(itheta)\int_(RR^n)f(x)dx=$
$=\int_(RR^n)e^(itheta)f(x)dx<=\int_(RR^n)|e^(itheta)f(x)|dx=\int_(RR^n)|f(x)|dx$
ed ho concluso...giusto?
A questo punto ho che, preso $theta\inCC$ tale che $e^(itheta)\int_(RR^n)f(x)dx\inRR$, si ha
$|\int_(RR^n)f(x)dx|=e^(itheta)\int_(RR^n)f(x)dx=$
$=\int_(RR^n)e^(itheta)f(x)dx<=\int_(RR^n)|e^(itheta)f(x)|dx=\int_(RR^n)|f(x)|dx$
ed ho concluso...giusto?
Intanto \(\theta \in \mathbb{R}\) se scrivi \(e^{i\theta}\). Poi devi chiarire questo passaggio:
\[
\int e^{i\theta}f(x)\, dx \le \int \lvert e^{i\theta} f(x)\rvert\, dx.\]
A priori io vedo a sinistra un numero complesso e non capisco come fai a scrivere quella disuguaglianza (che è vera, ma resta qualcosa da dire).
\[
\int e^{i\theta}f(x)\, dx \le \int \lvert e^{i\theta} f(x)\rvert\, dx.\]
A priori io vedo a sinistra un numero complesso e non capisco come fai a scrivere quella disuguaglianza (che è vera, ma resta qualcosa da dire).
Si hai ragione, $theta\inRR$.
Riguardo quella disuguaglianza ho che $\int_(RR^n)e^(itheta)f(x)dx$ è un numero reale per come abbiamo scelto $theta$.
Dunque $\int_(RR^n)e^(itheta)f(x)dx<=|\int_(RR^n)e^(itheta)f(x)dx|<=\int_(RR^n)|e^(itheta)f(x)|dx=\int_(RR^n)|f(x)|dx$, ho usato la disuguaglianza $|\int_(RR^n)g(x)dx|<=\int_(RR^n)|g(x)|dx$ che so valere per funzioni $g$ reali. Ok?
Riguardo quella disuguaglianza ho che $\int_(RR^n)e^(itheta)f(x)dx$ è un numero reale per come abbiamo scelto $theta$.
Dunque $\int_(RR^n)e^(itheta)f(x)dx<=|\int_(RR^n)e^(itheta)f(x)dx|<=\int_(RR^n)|e^(itheta)f(x)|dx=\int_(RR^n)|f(x)|dx$, ho usato la disuguaglianza $|\int_(RR^n)g(x)dx|<=\int_(RR^n)|g(x)|dx$ che so valere per funzioni $g$ reali. Ok?
Attenzione: \(e^{i\theta}f(x)\) NON per forza è una funzione reale. E' l'integrale che è reale, non l'integranda. Rifletti ad esempio sull'integrale
\[
\int_{-\pi}^\pi (1+i\sin x)\, dx=2\pi,
\]
che è reale (quindi \(\theta=0\)) pur avendo una funzione integranda che non è reale tranne che in tre punti.
Quindi questa dimostrazione non va bene perché usa la tesi come ipotesi. E come si fa?
(HINT: Nota che \(\Re \int h(x)\, dx=\int \Re h(x)\, dx\).)
\[
\int_{-\pi}^\pi (1+i\sin x)\, dx=2\pi,
\]
che è reale (quindi \(\theta=0\)) pur avendo una funzione integranda che non è reale tranne che in tre punti.
Quindi questa dimostrazione non va bene perché usa la tesi come ipotesi. E come si fa?
(HINT: Nota che \(\Re \int h(x)\, dx=\int \Re h(x)\, dx\).)
Potrei dire che $|\int_(RR^n)e^(itheta)f(x)dx|=|Re\int_(RR^n)e^(itheta)f(x)dx|=|\int_(RR^n)Ree^(itheta)f(x)dx|<=\int_(RR^n)|Ree^(itheta)f(x)|dx<=\int_(RR^n)|e^(itheta)f(x)|dx=\int_(RR^n)|f(x)|dx$
OK. Attenzione a questo passaggio:
\[
\left\lvert \int e^{i\theta}f(x)\, dx\right\rvert =\left\lvert Re \int e^{i\theta}f(x)\, dx\right\rvert.\]
Il modulo di un numero complesso in generale non è il valore assoluto della parte reale, in questo caso si perché \(e^{i\theta}\int f(x)\, dx\) è reale.
\[
\left\lvert \int e^{i\theta}f(x)\, dx\right\rvert =\left\lvert Re \int e^{i\theta}f(x)\, dx\right\rvert.\]
Il modulo di un numero complesso in generale non è il valore assoluto della parte reale, in questo caso si perché \(e^{i\theta}\int f(x)\, dx\) è reale.
Sisi, grazie! 
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