Proprietà dell'integrale definito
Buonasera a tutti!
Ho il seguente quesito:
Come posso provare tali affermazioni senza sfruttare il teorema della media? Avete qualche idea?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Ho il seguente quesito:
Sia [tex]f:[a;b]\rightarrow \mathbb{R}[/tex] una funzione integrabile secondo Riemann tale che [tex]f(x)\geq 0, \forall x\in [a;b][/tex]. Provare che [tex]\int_{a}^{b}f(x)dx\geq 0[/tex]. Inoltre se [tex]f[/tex] è continua, risulta: [tex]\int_{a}^{b}f(x)=0 \Leftrightarrow f(x)=0, \forall x\in [a;b][/tex].
Come posso provare tali affermazioni senza sfruttare il teorema della media? Avete qualche idea?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Risposte
Per il primo, prova direttamente con la definizione d'integrale; anzi basta che lavori sulle sole somme inferiori di Riemann.
Per il secondo, l'enunciato è falso: infatti che la condizione [tex]$f(x)=0$[/tex] sia sufficiente alla nullità dell'integrale è evidente; però non è affatto necessaria, perchè ad esempio [tex]$\int_{-1}^1 x\ \text{d} x =0$[/tex] pur non essendo l'integrando nullo identicamente in [tex]$[-1,1]$[/tex].
Per rendere l'enunciato vero devi scrivere:
[tex]$\forall \alpha< \beta \in [a,b],\quad \int_\alpha^\beta f(x)\ \text{d} x=0 \quad \Leftrightarrow \quad f(x)=0 \text{ identicamente in $[a,b]$}$[/tex],
ossia devi richiedere che l'integrale esteso a qualunque sottointervallo [tex]$[\alpha ,\beta]$[/tex] di [tex]$[a,b]$[/tex] sia nullo.
***EDIT: Scusa non avevo visto l'ipotesi [tex]$f(x)\geq 0$[/tex]!
L'enunciato del secondo teorema è vero, allora; per dimostrare la condizione [tex]$f(x)=0$[/tex] è necessaria, prova a supporre per assurdo che esista [tex]$x_0\in [a,b]$[/tex] tale che [tex]$f(x_0)>0$[/tex], poi usa la permanenza del segno e la monotonia dell'integrale rispetto all'intervallo d'integrazione per far vedere che [tex]$\int_a^b f(x)\ \text{d} x>0$[/tex].
Per il secondo, l'enunciato è falso: infatti che la condizione [tex]$f(x)=0$[/tex] sia sufficiente alla nullità dell'integrale è evidente; però non è affatto necessaria, perchè ad esempio [tex]$\int_{-1}^1 x\ \text{d} x =0$[/tex] pur non essendo l'integrando nullo identicamente in [tex]$[-1,1]$[/tex].
Per rendere l'enunciato vero devi scrivere:
[tex]$\forall \alpha< \beta \in [a,b],\quad \int_\alpha^\beta f(x)\ \text{d} x=0 \quad \Leftrightarrow \quad f(x)=0 \text{ identicamente in $[a,b]$}$[/tex],
ossia devi richiedere che l'integrale esteso a qualunque sottointervallo [tex]$[\alpha ,\beta]$[/tex] di [tex]$[a,b]$[/tex] sia nullo.
***EDIT: Scusa non avevo visto l'ipotesi [tex]$f(x)\geq 0$[/tex]!
L'enunciato del secondo teorema è vero, allora; per dimostrare la condizione [tex]$f(x)=0$[/tex] è necessaria, prova a supporre per assurdo che esista [tex]$x_0\in [a,b]$[/tex] tale che [tex]$f(x_0)>0$[/tex], poi usa la permanenza del segno e la monotonia dell'integrale rispetto all'intervallo d'integrazione per far vedere che [tex]$\int_a^b f(x)\ \text{d} x>0$[/tex].
Credo che il passaggio:
Intenda " se [tex]f[/tex] è continua oltre che essere [tex]\geq 0 \quad \forall x \in [a,b][/tex] "
In questo caso se non erro il secondo enunciato diverrebbe vero, giusto?
"Andrea90":
Inoltre se [tex]f[/tex] è continua
Intenda " se [tex]f[/tex] è continua oltre che essere [tex]\geq 0 \quad \forall x \in [a,b][/tex] "
In questo caso se non erro il secondo enunciato diverrebbe vero, giusto?
Sisi, ho editato il post precedente; mi ero perso l'ipotesi! 
Scusa.
Scusa.
"Whisky84":
Credo che il passaggio:
[quote="Andrea90"]
Inoltre se [tex]f[/tex] è continua
Intenda " se [tex]f[/tex] è continua oltre che essere [tex]\geq 0 \quad \forall x \in [a,b][/tex] " [/quote]
Esatto.
Credo di esser riuscito a risolvere il primo quesito. Ma il secondo? Come posso fare?
"gugo82":
***EDIT: Scusa non avevo visto l'ipotesi [tex]$f(x)\geq 0$[/tex]!
L'enunciato del secondo teorema è vero, allora; per dimostrare la condizione [tex]$f(x)=0$[/tex] è necessaria, prova a supporre per assurdo che esista [tex]$x_0\in [a,b]$[/tex] tale che [tex]$f(x_0)>0$[/tex], poi usa la permanenza del segno e la monotonia dell'integrale rispetto all'intervallo d'integrazione per far vedere che [tex]$\int_a^b f(x)\ \text{d} x>0$[/tex].
Parti da qui.
In che senso devo usare il teorema della permanenza del segno?
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